Analysis

208 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
5 Potenzreihen und höhere Ableitungen
5.1 Funktionenfolgen und Potenzreihen
Satz 5.1.1. Sei (aν)ν∈N eine Folge reeller Zahlen. Konvergiert für eine reelle
Zahl z die Reihe ∞
ν=0 aνz ν , so konvergiert die Reihe ∞
ν=0 aνx ν absolut für
alle reellen x mit |x| < |z| .
Vorschau 5.1.2. Sobald Sie die komplexen Zahlen kennengelernt haben, werden
Sie unschwer erkennen, daß dieser Satz ganz genauso und mit demselben
Beweis auch gilt, wenn wir darin überall “reell” durch “komplex” ersetzen.
Beweis. Die Glieder einer konvergenten Reihe sind beschränkt, unter unseren
Annahmen gibt es also eine endliche Schranke B mit |aνz ν | ≤ B für alle ν.
Aus |x| < |z| folgt aus der Konvergenz der geometrischen Reihe 2.5.5 dann
∞
|aνx ν | ≤
ν=0
∞
|aνz ν | |x/z| ν ≤
ν=0
∞
B |x/z| ν < ∞
Definition 5.1.3. Ein Ausdruck der Gestalt ∞
ν=0 aνx ν heißt eine Potenzreihe.
Eine Potenzreihe anzugeben bedeutet also nichts anderes, als die Folge
(aν)ν∈N ihrer Koeffizienten anzugeben. Der Konvergenzradius r ∈ [0, ∞]
einer Potenzreihe aνx ν ist per definitionem
ν=0
r = sup{ |z| | aνz ν konvergiert}
Die Bezeichnung als Radius wird erst im Kontext komplexer Potenzreihen
VIII.1.7.1 verständlich. Nach 5.1.1 definiert jede Potenzreihe mit Konvergenzradius
r vermittels der Abbildungsvorschrift x ↦→ ∞ ν=0 aνxν eine reellwertige
Funktion auf dem Intervall (−r, r).
Übung 5.1.4. Ist (aν)ν∈N eine Folge von von Null verschiedenen reellen Zahlen
und existiert der Grenzwert limν→∞ |aν/aν+1| in [0, ∞], so ist dieser Grenzwert
der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞
ν=0 aνx ν .
Satz 5.1.5 (über Potenzreihen). Die durch eine Potenzreihe ∞ ν
ν=0 aνx
mit Konvergenzradius r > 0 definierte Funktion s : (−r, r) → R ist stetig,
ja sogar differenzierbar, und ihre Ableitung wird an jeder Stelle x ∈ (−r, r)
ν−1 νaνx
gegeben durch die Potenzreihe s ′ (x) = ∞
ν=1
Beispiel 5.1.6. Dieser Satz liefert unmittelbar einen zweiten Beweis für die
bereits in 4.2.8 bewiesene Tatsache, daß die Exponentialfunktion ihre eigene
Ableitung ist.