Analysis

746 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Lemma 3.9.8 (Assoziativität der Konvolution). Gegeben eine unitäre
Darstellung H einer Geradengruppe G und Maße µ, ν ∈ M(G) und ein Vektor
v ∈ H gilt stets
µ ∗ (ν ∗ v) = (µ ∗ ν) ∗ v
Beweis. Es reicht zu zeigen, daß beide Seiten mit jedem Vektor w ∈ H
dasselbe Skalarprodukt haben. Wir finden nun nach den Definitionen
〈w, µ ∗ (ν ∗ v)〉 = 〈w, t ∗ (ν ∗ v)〉 µ〈t〉
= 〈(−t) ∗ w, ν ∗ v〉 µ〈t〉
= 〈(−t) ∗ w, s ∗ v〉 ν〈s〉 µ〈t〉
〈w, (µ ∗ ν) ∗ v〉 = 〈w, x ∗ v〉(µ ∗ ν)〈x〉
= 〈w, (s + t) ∗ v〉(µ ⊠ ν)〈s, t〉
und die Behauptung folgt so aus dem Satz von Fubini.
Lemma 3.9.9. Sei H eine unitäre Darstellung einer Geradengruppe G und
µn ∈ M(G) eine Folge von nichtnegativen Maßen mit µn(G) = 1 und der
Eigenschaft, daß für jede offene Umgebung U des neutralen Elements 0 ∈ G
fast alle unserer Maße auf G\U verschwinden. So gilt für jeden Vektor v ∈ H
die Formel
lim
n→∞ µn ∗ v = v
Beweis. Für alle ε > 0 gibt es eine offene Umgebung U des neutralen Elements
mit t∗v −v ≤ ε für alle t ∈ U. Falls n so groß ist, daß gilt µn(G\U),
so haben wir demnach
|〈w, µn ∗ v − v〉| =
〈w, t ∗ v − v〉 µn〈t〉
≤
|〈w, t ∗ v − v〉| µn〈t〉 ≤ εw
Definition 3.9.10. Gegeben eine Geradengruppe G notieren wir die Inverse
der abstrakten Fouriertransformation M(G) ∼ → S( ˆ G) von den Schwartzmaßen
in die Schwartzfunktionen aus 2.3.14 als h ↦→ h ∨ . Gegeben eine unitäre
Darstellung H von G und eine abgeschlossene Teilmenge C ⊂ V ˆ G setzen wir
HC = {v ∈ H | h ∨ ∗ v = 0 für alle h ∈ S( ˆ G) mit h|C = 0}
Nach 3.9.7 ist das ein abgeschlossener Teilraum und wegen der Kommutativität
der Konvolution ist er sogar eine Unterdarstellung. Offensichtlich folgt
aus C ⊂ D auch HC ⊂ HD.