Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1357
1.6.2. Beim ersten Hinsehen mag es so scheinen, als ob in dieser Formel die
komplexe Zahl i eine ungebührliche Sonderrolle spielte, denn warum sollte
eine der beiden Wurzeln aus −1 hier besser sein als die andere? Dieser scheinbare
Widerspruch löst sich jedoch auf, wenn wir bedenken, daß es auch von
der Wahl einer Wurzel aus −1 abhängt, welchen Weg um eine Kreisscheibe
wir als “im Gegenuhrzeigersinn umlaufend” bezeichnen. Das ist ja überhaupt
nicht sehr mathematisch und hängt sowohl von der Konvention der Uhr ab
als auch von der Konvention, daß wir in der Zahlenebene 1 nach rechts und
i nach oben abtragen. Ist ganz präzise p das Zentrum unserer Kreisscheibe
und R ihr Radius, so meinen wir in Formeln den Weg γ : [0, 1] → C gegeben
durch t ↦→ p + Re 2πit . Die Integralformel von Cauchy wird sich später auch
als ein Spezialfall des Residuensatzes 2.2.9 erweisen.
1.6.3. Der Pfeil über dem K soll wie in IV.7.3.7 die Wahl der Orientierung
dieser berandeten Untermannigfaltigkeit von C andeuten. Genauer versehen
wir den R-Vektorraum C mit der Orientierung, für die R 2 ∼ → C, (x, y) ↦→
x + iy eine positiv orientierte Karte ist, K erbt eine Orientierung als glatt
berandete Teilmenge, und ∂K schließlich wird versehen mit der auf dem Rand
induzierten Orientierung.
Beweis. Nach der Invarianz des Wegintegrals unter freier Homotopie 1.4.16
bleibt die rechte Seite unverändert, wenn wir unseren Weg ∂ K ersetzen durch
den kreisförmigen Weg γε um w mit beliebigem Radius ε, sofern nur besagter
Weg ganz in unserer Kreisscheibe verläuft. Es reicht also zu zeigen
1
f(w) = lim
ε→0 2πi
γε
f(z)
z − w dz
Nun hat ja γε die Form γε : [0, 2π] → C, t ↦→ w+ε eit . Die fraglichen Integrale
ergeben sich damit zu
1
2πi
2π
0
f(w + ε eit )
ε eit iε e it dt = 1
2π
2π
0
f(w + ε e it ) dt
und konvergieren wegen der Stetigkeit von f offensichtlich gegen f(w).
Korollar 1.6.4 (Mittelwerteigenschaft). Der Wert einer holomorphen
Funktion im Zentrum einer beliebigen abgeschlossenen Kreisscheibe aus ihrem
Definitionsbereich ist der Durchschnitt über ihre Funktionswerte auf dem
Rand besagter Kreisscheibe.
Beweis. Dieser Satz gibt nur in Worten die Aussage der Integralformel in
dem Spezialfall wieder, daß w das Zentrum der Kreisscheibe ist, wie in den
letzten Zeilen des vorhergehenden Beweises bereits ausgeführt wurde.