Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 891
Ergänzung 4.8.7. Daß wir hier die linksinvarianten Vektorfelder bevorzugen,
hängt damit zusammen, daß wir auch die allgemeinen linearen Gruppen
GL(V ) und die Endomorphismenringe End V stets in der Weise definieren,
daß sie von links auf V operieren. Unsere Konventionen passen dann in
der in ?? erklärten Weise so zusammen, daß dem Kommutator von linksinvarianten
Derivationen der Kommutator von Endomorphismen entspricht.
HIER FEHLT NOCH EIN WESENTLICHES ARGUMENT. Die Beziehung
zur entsprechenden Konstruktion mit rechtsinvarianten Vektorfeldern klärt
4.8.20.
Satz 4.8.8. Das Differential beim neutralen Element eines stetigen Homomorphismus
von Liegruppen ϕ : G → H ist ein Homomorphismus von Liealgebren
deϕ : Lie G → Lie H
Wir kürzen ihn oft zu dϕ ab.
Beweis. Der größte Teil dieses Satzes wurde bereits in 4.6.16 gezeigt. Offen ist
nur noch, daß das fragliche Differential mit dem Kommutator verträglich ist.
Man sieht jedoch leicht ein, daß das linksinvariante Vektorfeld zu A ∈ TeG
unter ϕ verwandt ist zum linksinvarianten Vektorfeld zu (deϕ)(A) ∈ TeH auf
H. Die Behauptung folgt nun, da das Bilden des Kommutators nach 4.8.4
Verwandtschaft respektiert.
4.8.9. Die Exponentialabbildung einer Lieguppe G schreiben wir von nun an
meist exp : Lie G → G und unser kommutatives Diagramm aus 4.6.17 erhält
damit die Gestalt
Lie G dϕ
Lie H
exp
exp
G
ϕ
H
4.8.10. Gegeben ein endlichdimensionaler R-Vektorraum V und eine Liegruppe
G und ein stetiger Gruppenhomomorphismus ρ : G → GL(V ) notieren wir
die Verknüpfung deρ : TeG → Te GL(V ) mit der kanonischen Identifikation
Te GL(V ) ∼ → End V = gl(V ) auch
dρ = deρ : Lie G → gl(V )
Nach 4.8.8 ist diese Abbildung auch ein Homomorphismus von Liealgebren.
Wir nennen ihn das Differential der Darstellung ρ.
4.8.11. Gegeben eine Gruppe G definiert jedes Element x ∈ G einen Gruppenhomomorphismus
int x : G → G
y ↦→ xyx −1