Analysis

924 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beispiel 5.6.6 (Lie-Ableitung von Vektorfeldern). Im Fall eines Vektorfeldes
T = η gilt nach IV.3.1.19 für jede glatte Funktion f die Identität
(ηf) [t] = η [t] f [t] und damit
(η
(Lξ(ηf))(p) = lim
t→0
[t] f [t] )(p) − (ηf [t] )(p) + (ηf [t] )(p) − (ηf)(p)
t
Wählen wir uns lokale Koordinaten x1, . . . , xn auf U und schreiben η [t] =
a1∂1 + . . . + an∂n mit ai = ai(x, t) glatt auf U × (−ε, ε) und betrachten
ebenfalls auf U × (−ε, ε) die glatte Funktion (x, t) ↦→ f [t] (x), so liefert die
Vertauschbarkeit der partiellen Ableitung ∂t nach t mit den partiellen Ableitungen
∂i nach den xi, daß unser Limes mit ((Lξη)f)(p)+(η(ξf))(p) identifiziert
werden kann. Für jede glatte Funktion f gilt mithin ξ(ηf) = Lξ(ηf) =
(Lξη)f + η(ξf), und daraus ergibt sich für je zwei Vektorfelder unmittelbar
die Identität
Lξη = [ξ, η]
Ergänzung 5.6.7. Mit 5.6.2 können wir nun auch eine weitere Herleitung
von Proposition 4.7.9 über kommutierende Vektorfelder geben: Kommutieren
zwei Vektorfelder, so verschwindet ja nach 5.6.4 die Lie-Ableitung des Ersten
nach dem Zweiten, also ist nach 5.6.2 das Erste invariant unter dem Fluß des
Zweiten, und dann muß natürlich auch der Fluß des Ersten mit dem Fluß
des Zweiten kommutieren.
Beispiel 5.6.8. Für die Lie-Ableitungen des Tensorprodukts irgendwelcher
natürlichen Felder S, T gilt offensichtlich
Lξ(S ⊗ T ) = (LξS) ⊗ T + S ⊗ (LξT )
und Verjüngungen vertauschen mit der Lie-Ableitung. Speziell gilt die Leibniz-
Regel Lξ(fT ) = (ξf)T + f(LξT ) für jede glatte Funktion f und jedes glatte
natürliche Feld T .
5.6.9 (Lie-Ableitung und äußere Ableitung). Im Spezialfall von Differentialformen
vertauscht die Lie-Ableitung auch mit der äußeren Ableitung,
in Formeln
Lξ(dω) = d(Lξω)
Das Argument geht wie zuvor: Zunächst impliziert die Verwandtschaft ξ t :
ω [t] ❀ ω nach 5.3.9 auch eine Verwandtschaft ξ t : d(ω [t] ) ❀ dω. Wählen wir
nun wieder lokale Koordinaten x1, . . . , xn auf U und schreiben ω [t] = aI dxI
mit aI = aI(x, t) glatt auf U × (−ε, ε), so haben wir per definitionem Lξω =
∂taI dxI und die Behauptung folgt wieder aus der Vertauschbarkeit der
partiellen Ableitungen ∂i nach den xi mit der partiellen Ableitung ∂t nach t.