Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 227
6 Stetigkeit in mehreren Veränderlichen
6.1 Vorschläge zur Veranschaulichung
6.1.1. Eine Abbildung f : R n → R m schreiben wir in der Form
(x1, . . . , xn) ↦→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
oder abkürzend f = (f1, . . . , fm). Man kann sich derartige Abbildungen auf
die verschiedensten Arten vorstellen.
1. Den Fall n = m = 1 hatten wir schon in 3.1.1 ausführlich behandelt
und sogar etwas allgemeiner mögliche Interpretationen einer Abbildung
von R in einen beliebigen Raum bzw. von einem beliebigen Raum nach
R besprochen: Erstere kann man sich etwa veranschaulichen als Beschreibung
der Bewegung eines Teilchens in besagtem Raum, Letztere
als eine Temperaturverteilung auf besagtem Raum.
2. Im Fall n + m = 3 kann man sich die Abbildung f ähnlich wie im Fall
n = m = 1 durch ihren Graphen Γ(f) = {(x, f(x)) | x ∈ R} ⊂ R 3 bzw.
Γ(f) = {(x, y, f(x, y)) | x, y ∈ R} ⊂ R 3 veranschaulichen. Der Graph
einer Funktion f : R 2 → R ist anschaulich eine hügelige Landschaft.
Der Graph einer Abbildung f : R → R 2 sieht aus wie ein Draht im
R 3 mit genau einem Punkt für jede vorgegebene x-Koordinate. Zum
Beispiel ist der Graph jeder konstanten Abbildung R → R 2 eine Parallele
zur x-Achse und der Graph jeder konstanten Abbildung R 2 → R
eine “vollständig platte Landschaft” alias eine zur (x, y)-Ebene parallele
Ebene.
3. Eine Funktion f : R 2 → R kann man auch graphisch darstellen, indem
man auf der Ebene R 2 die Niveaulinien einzeichnet, die im Bild der
Hügellandschaft die Höhenlinien in einer Landkarte für unsere Landschaft
wären, in Formeln die Mengen {(x, y) | f(x, y) = c} für verschiedene,
meist äquidistant gewählte c ∈ R. Auch eine Funktion f : R 3 → R
kann man sich noch mithilfe ihrer analog definierten Niveauflächen
vorstellen, aber mit dem Zeichnen wird es dann schon schwierig.
4. Eine Funktion f : R n → R n kann man sich vorstellen als ein Vektorfeld,
jedem Punkt x ∈ R n wird ja in der Tat ein Vektor f(x) ∈ R n
zugeordnet.
5. Es ist auch oft nützlich, sich f wirklich als eine Abbildung vorzustellen.
Die Abbildung x ↦→ (x, x) ist in diesem Bild zum Beispiel die diagonale