Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 1001
Beweis von 7.6.10. Wir zeigen zunächst, daß der Coxetergraph einer endlichen
Spiegelungsgruppe stets positiv definit ist. Wir wählen dazu einen
Alkoven A und ein invariantes Skalarprodukt ( , ) und betrachten zu jeder
Wand von A den Normalenvektor, der in Richtung von A zeigt. Wir erhalten
so eine Familie (es)s∈S von Einheitsvektoren. Offensichtlich schließen es und
et gerade den Winkel π − π/ms,t ein, folglich haben wir
(es, et) = − cos(π/ms,t)
Mithin kann ein Coxetergraph nur dann zu einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe
gehören, wenn seine Cosinusmatrix (− cos(π/ms,t))s,t∈S positiv
definit ist. Wir zeigen nun, daß die positive Definitheit unserer Matrix auch
hinreichend ist. Für eine beliebige Menge S und eine beliebige symmetrische
S × S-Matrix m : S × S → {1, 2, . . . , ∞} können wir natürlich den freien
Vektorraum V = RS über S bilden mit seiner kanonischen Basis (es)s∈S und
darauf eine symmetrische Bilinearform ( , ) erklären durch die Vorschrift
(es, et) = − cos(π/ms,t). Unter der Annahme ms,s = 2 können wir weiter in
GL(V ) die Untergruppe W betrachten, die erzeugt wird von den linearen
Abbildungen mit Fixpunktmenge {v ∈ V | (es, v) = 0} und (−1)-Eigenraum
Res. Ich schlage für die so entstehende Darstellung von W die Bezeichnung als
wurzlige Darstellung vor, da in ihr alle erzeugenden “Spiegelungen” verschiedene
(−1)-Eigenräume haben und da sich diese (−1)-Eigenräume später
in gewissen Fällen als die durch die sogenannten “Wurzeln” erzeugten Geraden
erweisen werden. Wir bezeichnen diese “Spiegelungen” kurzerhand mit
demselben Buchstaben s wie den entsprechenden Knoten unseres Coxetergraphen,
erklären die Länge l(w) eines Elements von W als die Länge einer
kürzestmöglichen Darstellung als Produkt solcher Spiegelungen s und behaupten
in dieser Situation ganz allgemein:
Lemma 7.6.13. Für alle w ∈ W und s ∈ S gilt
l(ws) > l(w) ⇔ w es ∈
r∈S
R≥0 er
7.6.14. Ich kann mir die Bedeutung dieses Lemmas sehr viel besser anhand
der kontragredienten Operation von W auf dem Dualraum V ∗ klar machen,
für die ich die Bezeichnung alkovische Darstellung vorschlage aus Gründen,
die im folgenden erläutert werden sollen. Nun ist nämlich die Fixpunktmenge
von s die Hyperebene Hs aller Linearformen, die auf es verschwinden,
und s vertauscht beide Halbräume zu dieser Hyperebene. Bezeichnen wir mit
¯H + s den abgeschlossenen Halbraum, in dem das Auswerten auf es nichtnegative
Werte annimmt, und mit Ā+ ⊂ V ∗ den “abgeschlossenen positiven