Analysis

554 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
“meßbarer Mengen”. Ich gebe aber zu, daß die horizontalen Streifen im Gegensatz
zu den vertikalen Streifen eben keine Intervalle und dadurch näher
an allgemeinen meßbaren Mengen sind.
Beispiel 6.6.16. Es folgt sofort, daß für k < n die Teilmenge Rk ⊂ Rn eine
Nullmenge ist. Es folgt weiter mit II.7.6.10, daß das Lebesgue-Maß einer
Kreisscheibe D vom Radius r in der Tat gegeben wird durch λ2 (D) = πr2 .
Ist schließlich I ⊂ R ein Intervall oder allgemeiner eine meßbare Teilmenge
und f : I → [0, ∞] stetig oder allgemeiner meßbar, so folgt für das Volumen
des Rotationskörpers R = {(x, y, z) ∈ R3 | z ∈ I, x2 + y2 ≤ f(z) 2 } die
Formel
λ 3
(R) = π f(z) 2 dz
Übung 6.6.17. Man zeige, daß die Einheitskugel das Volumen 4π/3 hat.
Satz 6.6.18 (Fubini). Gegeben σ-endliche Maßräume (X, µ) und (Y, ν) und
eine integrierbare Funktion f : X × Y → R ist die Menge N aller y ∈ Y , für
die x ↦→ f(x, y) nicht integrierbar ist, meßbar vom Maß ν(N) = 0, und die
Funktion Y \N → R, y ↦→
f(x, y)µ〈x〉 ist integrierbar mit Integral
X
f(x, y)µ〈x〉 ν〈y〉 = f(x, y) (µ ⊠ ν)〈x, y〉
Y \N
X
6.6.19. Will man diesen Satz in der Praxis anwenden, so wird man in der
Regel zuerst den positiven Fubini 6.6.8 benutzen, um die Integrierbarkeit
von f nachzuweisen.
Beispiel 6.6.20. Die Funktion f : R 2 → R, die außerhalb der x-Achse verschwindet
und auf der x-Achse bei (x, 0) jeweils den Wert x annimmt, ist
integrierbar auf R 2 . Jedoch ist x ↦→ f(x, y) nur integrierbar für y = 0.
Beispiel 6.6.21. Unser Satz sagt insbesondere, daß wir unter gewissen Umständen
“die Integrationsreihenfolge vertauschen dürfen”. Das folgende Beispiel
zeigt, welche Probleme beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge im
allgemeinen auftreten können. Sei ζ das Zählmaß auf N. Wir finden induktiv
eine Funktion f : N × N → R mit Träger in der “treppenförmigen” Menge
{(i, j) | 0 ≤ i − j ≤ 1} mit f(0, 0) = 1/2 und
I
X×Y
f(n, n) + f(n + 1, n) = 0
f(n + 1, n) + f(n + 1, n + 1) = 2 −(n+2)
für alle n ≥ 0. Die beiden partiellen Integrale von f existieren und sind
integrierbar. Ihre Integrale sind jedoch verschieden, genauer gilt
f(n, m)ζ〈n〉 ζ〈m〉 = 0 = 1 = f(n, m)ζ〈m〉 ζ〈n〉