Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 241
Übung 6.4.14. Sei X ein metrischer Raum, z ∈ X ein Punkt, r ∈ R eine
reelle Zahl. So ist die Menge {x ∈ X | d(x, z) ≤ r} abgeschlossen.
Übung 6.4.15. Ist X ein metrischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge, so
kann ihr Abschluß Ā in der Notation von 6.2.22 beschrieben werden als die
Menge Ā = {x ∈ X | d(x, A) = 0}.
6.5 Topologische Räume
6.5.1. Der Begriffsapparat der topologischen Räume wird erst sehr viel später
unumgänglich werden, in der hier vorgesehenen Entwicklung der Theorie
erst bei der Diskussion von abstrakten Mannigfaltigkeiten in VI.4.1 folgende.
Daß ich ihn dennoch bereits hier einführe, hat mehrere Gründe. Zum Ersten
erlaubt dieser Begriffsapparat eine große Vereinheitlichung: Zum Beispiel
können in diesem Rahmen alle bisher betrachteten Grenzwertbegriffe unter
einen Hut gebracht werden, wie in 6.6.9 ausgeführt wird. Zum Zweiten erlaubt
er es, den Begriff der Stetigkeit im Kontext endlichdimensionaler reeller
Vektorräume sehr unmittelbar zu fassen, indem man eben jeden derartigen
Raum mit seiner “natürlichen Topologie” aus 6.9.22 versieht. Sobald das einmal
getan ist, kann man auch in diesem Kontext mit Stetigkeit arbeiten,
ohne Koordinaten zu benötigen. Und zum Dritten scheint es mir auch unabhängig
davon wichtig, daß Sie beizeiten mit diesem Begriffsapparat vertraut
werden, der die ganze Mathematik durchdringt: Um ihn an einfachen Beispielen
einzuüben, will ich deshalb alles, was in dieser Vorlesung ohne große
Umwege in der Allgemeinheit topologischer Räume formuliert und bewiesen
werden kann, auch in diesem Rahmen formulieren und beweisen. Vielfach
werden die Aussagen und Beweise dadurch sogar einfacher, und ich denke,
dieser Vorteil wiegt zum Teil bereits die zusätzlichen Schwierigkeiten auf, die
durch das Erlernen dieses neuen Begriffsapparats und seiner Beziehungen zu
den primären Zielen der Vorlesung entstehen.
6.5.2. Gegeben eine Menge X können wir die Menge P(X) aller Teilmengen
von X bilden, die sogenannte Potenzmenge von X. Weil es mich verwirrt,
über Mengen von Mengen zu reden, nenne ich wie in ?? Teilmengen von
P(X) lieber Systeme von Teilmengen von X und spreche im folgenden
von Teilsystemen, wenn ich Teilmengen solcher Mengensysteme meine.
Definition 6.5.3. Eine Topologie T auf einer Menge X ist ein System
von Teilmengen T ⊂ P(X), das stabil ist unter dem Bilden von endlichen
Schnitten und beliebigen Vereinigungen. In Formeln ausgedrückt fordern wir
von einer Topologie also:
1. U1, . . . , Un ∈ T ⇒ U1 ∩ . . . ∩ Un ∈ T für n ≥ 0 und insbesondere auch