Analysis

1364 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Salopp gesprochen können also komplexe Potenzreihen, die “nur relativ kleine”
Werte annehmen, auch “nur relativ kleine Koeffizienten” haben. Hinweis:
Beweis von 1.6.5. Selbst im Fall von komplexen Polynomen kenne ich keinen
anderen Beweis für diese Tatsache, deren reelles Analogon im Übrigen
ziemlich falsch ist: Man denke nur etwa an die Gauss’sche Glockenkurve!
Übung 1.7.13. Sei V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Wir
wählen eine Norm auf V und versehen den Raum End V aller Endomorphismen
von V mit der Operatornorm. Gegeben eine komplexe Potenzreihe
aνz ν mit Konvergenzradius r ∈ [0, ∞], die gegen eine Funktion f(z) konvergiert,
und ein Endomorphismus A ∈ End V mit A < r zeige man, daß
aνA ν absolut summierbar ist und daß für A < R < r gilt
aνA ν
≤ sup{|f(z)| mit |z| = R} (1 − (A/R)) −1
Man notiert die Summe dieser absolut summierbaren Familie f(A) ∈ End V .
Unternehmende Leser betrachten allgemeiner den Fall eines Banachraums V .
Hinweis: 1.7.12.
Ergänzung 1.7.14. Der Abel’sche Grenzwertsatz II.5.4.2 muß im Komplexen
sorgfältiger formuliert werden: Konvergiert eine komplexe Potenzreihe
auch noch auf einem Randpunkt ihrer offenen Konvergenzkreisscheibe, so
stellt sie nicht notwendig auf der ganzen offenen Kreisscheibe vereinigt mit
diesem Randpunkt eine stetige Funktion dar, sondern nur auf jedem abgeschlossenen
Winkelsegment, das “vom fraglichen Randpunkt aus ins Innere
der Kreisscheibe geht”. Diese Stetigkeit auf Winkelsegmenten zeigen wir im
allgemeineren Kontext der Dirichlet-Reihen in 4.3.2. Welche Schwierigkeiten
im allgemeinen auftreten können, zeigt die Poisson-Transformation 3.1.12.
Übung 1.7.15 (Binomische Reihe im Komplexen). Man zeige, daß auch
für z, α ∈ C mit |z| < 1 die binomische Reihe II.5.1.19 gegen (1 + z) α konvergiert.
Hier verwendet man die offensichtliche Erweiterung der Binomialkoeffizienten
ins Komplexe und versteht (1 + z) α = exp(α log(z + 1)) für log
den Hauptzweig des Logarithmus, vergleiche III.1.4.3.
Übung 1.7.16. Gegeben U, V ⊂◦ C offen und f : U → C, g : V → C holomorph
mit f(U) ⊂ V und p ∈ U erhält man die Taylorreihe von g ◦ f bei p durch
das “Einsetzen” der Taylorreihe von f bei p in die Taylorreihe von g bei
f(p). Sind genauer f(p + z) = aνz ν und g(f(p) + w) = bµw µ und
g(f(p + z)) = cλz λ die jeweiligen Taylorreihen, so gilt
cλ =
ν(1)+...+ν(µ)=λ
bµaν(1) . . . aν(µ)