Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1073
K ⊂ X und U ⊂ Y bezeichne
O(K, U) ⊂ Top(X, Y )
die Menge aller stetigen Abbildungen f : X → Y mit f(K) ⊂ U. Die auf
Top(X, Y ) von den Mengen O(K, U) für K ⊂ X kompakt und U ⊂◦ Y offen
erzeugte Topologie heißt die kompakt-offene Topologie. Wir denken uns
Räume stetiger Abbildungen im Zweifelsfall stets mit dieser Topologie versehen
und verwenden für den so entstehenden topologischen Raum die beiden
Notation
C(X, Y )
Ergänzung 11.2.2. Manche Quellen verwenden die Notation Y X = C(X, Y ),
aber ich will versuchen, diese exponentielle Schreibweise zu vermeiden. Sie hat
den Nachteil, daß in anderen Quellen auch Y X die Menge aller Abbildungen
Ens(X, Y ) abkürzt.
Übung 11.2.3. Ist X kompakt, so stimmt die kompakt-offene Topologie auf
C(X, C) überein mit der von der Supremumsnorm induzierten Topologie.
Übung 11.2.4. Gegeben topologische Räume X, Y ist diejenige Abbildung
Y → C(X, Y ) stetig, die jedem Punkt y ∈ Y die Abbildung zuordnet, die
ganz X auf diesen einen Punkt y wirft.
Übung 11.2.5. Gegeben stetige Abbildungen f : X ′ → X und g : Y → Y ′
sind auch die induzierten Abbildungen (◦f) : C(X, Y ) → C(X ′ , Y ) und (g◦) :
C(X, Y ) → C(X, Y ′ ) stetig.
Lemma 11.2.6. Gegeben ein topologischer Raum X und eine Familie topologischer
Räume (Yi) liefert die offensichtliche Abbildung einen Homöomorphismus
C X,
∼
→
C(X, Yi)
i
Yi
11.2.7. In kategorieller Sprache ausgedrückt besagt unser Lemma, daß der
Funktor C(X, ) : Top → Top verträglich ist mit Produkten.
Beweis. Per definitionem ist unsere Abbildung eine Bijektion von Mengen.
Für K ⊂ X kompakt und j einen beliebigen aber festen Index und Uj ⊂◦ Yj
offen induziert sie sicher eine Bijektion zwischen den Teilmengen O(K, Uj
×
i=j Yi) und O(K, Uj) ×
i=j C(X, Yi). Diese Mengen erzeugen aber die jeweiligen
Topologien.
Ergänzung 11.2.8. Ist X lokal kompakt im Sinne von 11.2.10, so folgt Lemma
11.2.6 auch mit der Adjunktion 11.2.13 unmittelbar aus der Erkenntnis ??,
daß ein rechtsadjungierter Funktor stets mit Limites vertauscht.
i