Analysis

882 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Das folgt ohne Schwierigkeiten in derselben Weise wie bei der Herleitung
des Satzes über die globale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
IV.5.2.6 aus der lokalen Existenz und Eindeutigkeit IV.5.2.3, wenn man beachtet,
daß jeder Punkt unserer Mannigfaltigkeit ja im Bild einer Karte liegt.
Beim Nachweis der Eindeutigkeit der größten Integralkurve mit vorgegebenem
Anfangswert benötigen wir im Übrigen zum ersten Mal die Hausdorff-
Eigenschaft unserer Mannigfaltigkeiten, und zwar an der Stelle, an der wir
bemerken, daß die Menge der Parameter, an denen zwei vorgegebene Integralkurven
mit demselben Definitionsbereich übereinstimmen, abgeschlossen
ist in dem fraglichen Definitionsbereich.
Satz 4.6.5 (Integralkurven linksinvarianter Vektorfelder). Gegeben
eine Liegruppe G und darauf ein linksinvariantes Vektorfeld A ist die maximale
Integralkurve γ = γA unseres Vektorfelds mit Anfangswert γ(0) = e
für alle Zeiten definiert und kann charakterisiert werden als der eindeutig
bestimmte glatte Gruppenhomomorphismus γ : R → G mit ˙γ(0) = Ae.
4.6.6. Dieser Satz liefert die in 4.3.22 behauptete Klassifikation der glatten
Einparameteruntergruppen einer Liegruppe.
Beweis. Mit γ ist auch t ↦→ gγ(t) eine Integralkurve unseres linksinvarianten
Vektorfelds A, für alle g ∈ G. Ebenso sind auch alle “zeitverschobenen” Integralkurven
wieder Integralkurven, das gilt ja bei jedem zeitunabhängigen
Vektorfeld. Wäre nun γ : (a, b) → G die maximale Integralkurve mit Anfangswert
γ(0) = e und wäre etwa b = ∞, so wäre t ↦→ γ(b/2)γ(t − b/2)
ebenfalls eine Integralkurve, die auf (a + b/2, b + b/2) definiert wäre und auf
dem gemeinsamen Definitionsbereich mit γ übereinstimmte. Also könnte γ
doch nicht maximal gewesen sein, und dieser Widerspruch zeigt, daß die maximalen
Integralkurven linksinvarianter Vektorfelder für alle Zeiten definiert
sein müssen. Dasselbe Argument zeigt dann γ(t) = γ(s)γ(t−s) für alle reellen
s, t und damit sind unsere maximalen Integralkurven Gruppenhomomorphismen.
Umgekehrt gilt für jeden glatten Gruppenhomomorphismus γ : R → G
die Identität γ(t + s) = γ(t)γ(s) und damit ˙γ(t) = de(γ(t)·) ˙γ(0), was ja gerade
bedeutet, daß γ eine Integralkurve des linksinvarianten Vektorfelds A ist,
die den Ursprung mit der Geschwindigkeit ˙γ(0) = Ae durchläuft.
Definition 4.6.7. Wir definieren für jede Liegruppe G ihre Exponentialabbildung
exp : TeG → G durch die Vorschrift
exp : TeG → G
A ↦→ γA(1)
für γA : R → G die glatte Einparameteruntergruppe mit ˙γA(0) = A.