Analysis

3. VERSCHIEDENE WEITERFÜHRENDE RESULTATE 1409
(2) Nach dem ersten Schritt können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
annehmen, daß unser Bereich G den Nullpunkt enthält und in der offenen
Einheitskreisscheibe E enthalten ist. Wir behaupten nun, daß es unter allen
holomorphen Injektionen f : G → E mit f(0) = 0 eine gibt, für die |f ′ (0)|
maximal wird. In der Tat umfaßt G eine Kreisscheibe B(0; ε) für ε > 0, woraus
folgt, daß für holomorphe Abbildungen f : G → E die Ableitung am
Nullpunkt, nach der Formel aus dem Beweis von 1.6.5 gegeben durch
f ′ (0) = 1
2πi
|z|=ε
f(z)
dz
z2 betragsmäßig beschränkt ist durch ε −1 . Also gibt es ein Supremum S der
Menge der möglichen |f ′ (0)| und eine Folge von holomorphen Injektionen
fn : G → E derart, daß |f ′ n(0)| gegen dieses Supremum strebt. Nach dem
Satz von Montel 3.5.3 dürfen wir sogar annehmen, daß diese Folge kompakt
konvergiert. Die Grenzfunktion f ist dann nach 1.7.5 wieder holomorph mit
|f ′ (0)| = S. Sie ist auch injektiv nach dem Korollar 3.5.7, das wir im Anschluß
beweisen, und landet nicht nur in der abgeschlossenen, sondern sogar in der
offenen Einheitskreisscheibe nach dem Satz über die Gebietstreue 1.8.16. Also
haben wir eine holomorphe Injektion f : G → E gefunden mit f(0) = 0, für
die die Ableitung |f ′ (0)| den unter diesen Einschränkungen größtmöglichen
Wert annimmt.
(3) Jetzt gilt es noch zu zeigen, daß die im vorherigen Schritt konstruierte
Abbildung f surjektiv auf die ganze Einheitskreisscheibe geht. Dazu führen
wir die gegenteilige Annahme zum Widerspruch, indem wir zu jeder nicht
surjektiven holomorphen Injektion f : G ↩→ E mit f(0) = 0 eine weitere
konstruieren, deren Ableitung im Ursprung betragsmäßig noch größer ist.
Sei also p ∈ E\f(G). Wir finden h1 : E ∼ → E biholomorph mit h1(p) = 0.
Nach 3.3.8 gibt es dann eine Wurzel von h1 ◦ f, als da heißt eine Funktion g
mit q ◦ g = h1 ◦ f für q : z ↦→ z 2 das Quadrieren. Schließlich finden wir dann
noch h2 : E ∼ → E biholomorph mit h2(g(0)) = 0. Wir behaupten nun, daß
F = h2 ◦ g eine größere Ableitung im Ursprung hat als f. Um das zu sehen,
beachten wir q ◦ h −1
2 ◦ F = h1 ◦ f alias (h −1
1 ◦ q ◦ h −1
2 ) ◦ F = f. Nun ist aber
der Ausdruck in Klammern eine biholomorphe nicht invertierbare Abbildung
E → E, die den Ursprung festhält. Ihre Ableitung im Ursprung ist nach
1.8.20 also betragsmäßig echt kleiner als Eins, und mit der Kettenregel folgt
|F ′ (0)| > |f ′ (0)|.
Satz 3.5.6 (Nullstellenanzahl von Grenzfunktionen). Sei auf einer zusammenhängenden
offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene eine kompakt
konvergente Folge holomorpher Funktionen gegeben. Haben alle Funktionen
unserer Folge mit Vielfachheiten gerechnet höchstens N Nullstellen und