Analysis

3. WEGINTEGRALE 399
würden
∂r = (cos ϑ)∂x + (sin ϑ)∂y =
∂ϑ = −(r sin ϑ)∂x + (r cos ϑ)∂y = −y∂x + x∂y
∂x = (cos ϑ)∂r − r −1 sin ϑ ∂ϑ
∂y = (sin ϑ)∂r + r −1 cos ϑ ∂ϑ
dx = (cos ϑ) dr − (r sin ϑ) dϑ
dy = (sin ϑ) dr + (r cos ϑ) dϑ
dϑ = −y/(x 2 + y 2 ) dx + x/(x 2 + y 2 ) dy
dr = x/ x2 + y2
dx + y/ x2 + y2
dy
x/ x2 + y2
∂x + y/ x2 + y2
∂y
Man kann die unteren Formeln auch so verstehen, daß eben dr das Differential
der Funktion r : (R 2 \0) → R, (x, y) ↦→ r(x, y) meint. Bei dϑ wird
es schon kritischer, da ja eigentlich ϑ nur auf geschlitzten Ebenen definiert
werden kann. Allerdings unterscheiden sich die auf verschiedenen geschlitzten
Ebenen definierten ϑ dann wieder nur um additive Konstanten, so daß sie alle
dasselbe Differential haben und wir doch ein wohldefiniertes Kovektorfeld
dϑ auf R 2 \0 erhalten. Das ist auch der tiefere Grund dafür, daß alle unsere
Standardvektorfelder in diesem Fall wohldefinierte Verwandte haben und wir
mit unseren Gleichheitszeichen nicht in Teufels Küche kommen. Bei komplizierteren
Vektorfeldern sähe das anders aus: So hat etwa das Vektorfeld ϑ∂ϑ
gar keinen Verwandten, es sei denn, wir schränken unsere Polarkoordinatenabbildung
noch weiter ein.
3.1.24. Gegeben ein endlichdimensionaler affiner Raum X und eine offene
Teilmenge U ⊂◦ X und ein Diffeomorphismus alias ein System lokaler Koordinaten
(x1, . . . , xn) : U ∼ → V ⊂◦ Rn bezeichnet man gerne mit ∂ oder auch mit
∂xi
∂i diejenigen Vektorfelder auf U, die unter diesem Diffeomorphismus zu den
eben eingeführten Vektorfeldern auf Rn verwandt sind. Man beachte jedoch,
daß für eine einzelne Funktion x : U → R nicht sinnvoll ein Vektorfeld ∂
∂x
auf U erklärt werden kann: Selbst wenn sich unsere Funktion zu einem Koordinatensystem
ergänzen lassen sollte, wird doch das durch diese Ergänzung
erklärte Vektorfeld ∂ wesentlich von der Wahl der anderen Koordinaten ab-
∂x
hängen. All das steht im Gegensatz zum Differential dx einer Funktion x,
das durchaus auch für eine einzelne Funktion sinnvoll definiert ist.
Übung 3.1.25. Unter der Inversion am Einheitskreis R2 \0 ∼ → R2 \0, (x, y) ↦→
(u, v) = (x2 + y2 ) −1 (x, y) zeige man die Verwandtschaft von Vektorfeldern
∂x ❀ (v 2 − u 2 )∂u − 2uv∂v
∂y ❀ (u 2 − v 2 )∂v − 2uv∂u