Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 255
Definition 6.9.2. Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine
Abbildung : V → R≥0, v ↦→ v derart, daß gilt:
1. λv = |λ| · v ∀v ∈ V, λ ∈ R;
2. v = 0 ⇔ v = 0;
3. v + w ≤ v + w ∀v, w ∈ V .
Unter einem normierten Vektorraum versteht man ein Paar (V, ) bestehend
aus einem Vektorraum V und einer Norm auf V .
Ergänzung 6.9.3. Für Leser, die schon mit komplexen Zahlen vertraut sind,
sei noch erwähnt, daß man von einer Norm auf einem komplexen Vektorraum
stärker fordert, daß die erste Bedingung sogar für alle λ ∈ C gelten soll, wobei
|λ| als die “Norm der komplexen Zahl λ” im Sinne von ?? zu verstehen ist.
6.9.4. Jeder normierte Vektorraum wird ein metrischer Raum vermittels der
durch die Norm induzierten Metrik
d(v, w) = v − w
Zum Beispiel gehört unser Betragsabstand auf dem R n zur Maximumsnorm.
Wir dürfen damit in normierten Vektorräumen über Stetigkeit und Konvergenz
von Folgen reden. Allgemeiner verstehen wir unter einem normierten
affinen Raum einen reellen (oder komplexen) affinen Raum im Sinne von
6.8.2, dessen Richtungsraum mit einer Norm versehen ist. Auch jeder normierte
affine Raum trägt eine natürliche Metrik, die durch dieselbe Formel
beschrieben wird. Reden wir ohne nähere Spezifikation von einem normierten
Raum, so meinen wir einen normierten affinen Raum. Leser, die mit
dem Begriff eines affinen Raums noch nicht vertraut sind, mögen sich aber
auch einen normierten Vektorraum denken.
Übung 6.9.5. Für je zwei Vektoren v, w eines normierten Vektorraums gilt
v + w ≥ |v − w|.
Beispiel 6.9.6. Mit v ↦→ v ist auch v ↦→ αv eine Norm, für jedes α > 0.
Auf dem Nullraum gibt es nur eine Norm, die eben den Nullvektor auf Null
wirft.
Beispiel 6.9.7. Auf dem R n definiert man die euklidische Norm eines Vektors
v = (v1, . . . , vn) durch v = v2 = 〈v, v〉 = v 2 1 + . . . + v 2 n. Wie
man formal zeigt, daß das tatsächlich eine Norm ist, diskutieren wir in ??.