Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1457
auf der oberen Halbebene H + , deren Entwicklung nach q = e2π i z bei q = 0
keine wesentliche Singularität hat. Allgemeiner betrachtet man meromorphe
Schnitte in der k-ten Tensorpotenz des Kotangentialbündels von H. Das Zurückholen
unter π : H + → H gefolgt vom Teilen durch (dz) ⊗k identifiziert sie
mit meromorphen Funktionen f : H + → C, die der Transformationsformel
az + b
f = (cz + d)
cz + d
−2k f(z)
genügen und in deren q-Entwicklung nur endlich viele negative Potenzen von
q mit von Null verschiedenem Koeffizienten vorkommen. Derartige Funktionen
heißen Modulfunktionen vom Gewicht 2k. Haben wir π ∗ (ω) =
f(z)(dz) ⊗k , so gilt mit ep der Kardinalität des Stabilisators von p ∈ H +
unter PSL(2; Z) := PSL(2; Z)/ ± id die Formel
vp(f) = epv¯p(ω) + k(ep − 1)
wegen d(u e ) = eu e−1 du. Weiter gilt v∞(f) = v ¯∞(ω) + k wegen der offensichtlichen
Identität dz = (2π i) −1 q −1 dq. Schließlich gilt
−2k =
vq(ω)
q∈ b H
für jeden meromorphen Schnitt der k-ten Potenz des Kotangentialbündels
von H ∼ = P 1 C, woraus wir folgern
−2k = v∞(f) − k + vi(f) − k
2
+ vρ(f) − 2k
3
+
p=ρ,i,∞
Eine kurze Rechnung führt von dort sofort zur Formel
k
6 = v∞(f) + vi(f)/2 + vρ(f)/3 +
vp(f)
p=ρ,i,∞
vp(f)
Definition 5.3.14. Eine Modulform vom Gewicht 2k ist eine Modulfunktion
vom Gewicht 2k ohne Pole auf H + und ohne negative Terme in der
q-Entwicklung. Eine Spitzenform vom Gewicht 2k ist eine Modulform
vom Gewicht 2k, bei der in der q-Entwicklung auch noch der konstante Term
verschwindet.
Bemerkung 5.3.15. Übersetzt man die Bedingungen an Modulformen bzw.
Spitzenformen in Bedingungen an Schnitte in Potenzen des Kotangentialbündels,
so wirken sie höchst unnatürlich. Diese Bedingungen scheinen mir
erst bei der Interpretation im Rahmen der Darstellungstheorie ihre wahre
Bedeutung zu zeigen.