Analysis

894 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
4.8.18. Rechts steht hier der Kommutator der beiden Vektorfelder, die durch
linksinvariante Fortsetzung zweier Tangentialvektoren am neutralen Element
entstehen, oder vielmehr der Wert dieses Kommutatorfeldes am neutralen
Element. Links dahingegegen steht salopp gesprochen das Differential der
von der Operation durch Konjugation unserer Liegruppe auf sich selbst induzierten
Operation auf dem Tangentialraum beim neutralen Element. Wir
geben für die Proposition zwei Beweise.
Erster Beweis. Wir verwenden im folgenden meist dieselbe Notation für linksinvariante
Vektorfelder und ihre Werte beim neutralen Element, und deuten
nur in Ausnahmefällen den Unterschied durch einen Index e an. Der Fluß
eines linksinvarianten Feldes X wird nach 4.6.22 gegeben durch
X t g = g exp(tX)
für alle g ∈ G und t ∈ R. Bezeichne log die Umkehrung von exp in einer kleinen
Umgebung des neutralen Elements. Da die Lieklammer Verwandschaft
respektiert und da das Differential des Logarithmus bis auf kanonische Identifikationen
die Identität ist, liefert die Darstellung 4.7.8 des Kommutators
zweier Vektorfelder die Relation
[X, Y ]e = limt→0 1
t2 (log(X −tY tX te) − log(Y te))
tX tY −tX tY log(e e e ) − log(e )
= limt→0 1
t2 = limt→0 1
t2 (Ad(etX )(tY ) − tY )
= limt→0 1
t (Ad(etX )(Y ) − Y )
= (ad X)(Y )
Zweiter Beweis. Dieser Beweis ist zwar etwas länger, dafür aber unabhängig
von unseren Erkenntnissen 4.7.5 über den Zusammenhang zwischen der Lieklammer
von Vektorfeldern und dem Kommutieren der zugehörigen Flüsse.
Um Klammern zu sparen, kürzen wir ad(X) = adX ab. Es reicht, für jede
glatte Funktion f : G → R zu zeigen
[X, Y ]f = (adX Y )f
Dazu beachten wir zunächst adX Y = ∂t(Ad e tX )(Y ), wobei wir hier und
im Rest des Beweises alle partiellen Ableitungen als ausgewertet bei Null
verstehen. Das Anwenden auf eine glatte Funktion f gefolgt vom Auswerten
oder “Evaluieren” evg an einem Gruppenelement g ist eine Linearform auf
dem Raum aller glatten Vektorfelder und damit auch auf dem Raum aller
linksinvarianten Vektorfelder, wir haben demnach auch
evg(adX Y )f = ∂t evg((Ad e tX )(Y ))f