Analysis

5. POTENZREIHEN UND HÖHERE ABLEITUNGEN 213
1. Ist die Funktion f : (−r, r) → R gegeben durch die Potenzreihe f(x) =
∞
ν=0 aνx ν , so konvergiert auch die Potenzreihe
∞
ν=0
1 ν+1
aνx ν+1
auf (−r, r), und zwar gegen eine Stammfunktion von f.
2. Ist die Funktion g : (−r, r) → R gegeben durch die Potenzreihe g(x) =
∞
ν=0 bνx ν , so ist g differenzierbar und die Potenzreihe
∞
νbνx ν−1
ν=1
konvergiert auf (−r, r) gegen die Ableitung g ′ unserer Funktion g.
Beweis. 1. Man wende den vorhergehenden Satz 5.1.14 auf die Folge fn(x) =
n
ν=0 aνx ν der Partialsummen an.
2. Wir zeigen zunächst, daß die Potenzreihe ∞
ν=1 νbνx ν−1 auch auf (−r, r)
konvergiert. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert schon mal die Reihe
∞
ν=1 νzν−1 für |z| < 1. Für |x| < r wählen wir nun ein ρ mit |x| < ρ < r
und dazu eine Schranke B mit |bνρ ν−1 | ≤ B für alle ν. Dann können wir
abschätzen
|νbνx ν−1 | = νbνρ ν−1 (x/ρ) ν−1 ≤ νBz ν−1
für z = |x/ρ| < 1. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert also die Reihe
∞
ν=1 νbνx ν−1 . Dann wissen wir aber nach Teil 1, daß für die Funktion f(x) =
∞
ν=1 νbνx ν−1 unser g(x) = ∞
ν=0 bνx ν eine Stammfunktion ist.
Definition 5.1.16. Die n-te Ableitung einer Funktion f bezeichnen wir,
falls sie existiert, mit f (n) . Es ist also f (0) = f, f (1) = f ′ , f (2) = f ′′ und
allgemein f (n+1) = (f (n) ) ′ .
5.1.17. Ist eine Funktion f : (−r, r) → R gegeben durch die für x ∈ (−r, r)
konvergente Potenzreihe f(x) = ∞
ν=0 aνx ν , so folgt aus 5.1.15 sofort
f (n) (0) = n! an
Wenn also in anderen Worten eine fest vorgegebene Funktion f in einer Umgebung
des Nullpunkts durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, so
muß unsere Funktion dort beliebig oft differenzierbar sein und die fragliche
Potenzreihe ist die Reihe
∞
ν=0
f (ν) (0)
ν! xν