Analysis

5. POTENZREIHEN UND HÖHERE ABLEITUNGEN 211
5.1.12. Eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r konvergiert im allgemeinen
keineswegs gleichmäßig auf dem ganzen Intervall (−r, r). Ein Gegenbeispiel
wäre etwa die Exponentialfunktion, ein anderes die geometrische Reihe.
Beweis. Für alle x ∈ [−ρ, ρ] gilt |aνx ν | ≤ |aνρ ν | und folglich
|sn(x) − s(x)| ≤
∞
ν=n+1
|aνρ ν |
Da ∞
ν=0 |aνρ ν | konvergiert, gibt es für jedes ε > 0 ein N ∈ N mit
∞
ν=N+1
|aνρ ν | < ε
Für n ≥ N und beliebiges x ∈ [−ρ, ρ] gilt dann |sn(x) − s(x)| < ε.
Korollar 5.1.13. Die durch eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius
r > 0 auf (−r, r) definierte Funktion ist stetig.
Beweis. Nach Proposition 5.1.11 und Satz 5.1.10 ist unsere Funktion für alle
ρ ∈ [0, r) stetig auf [−ρ, ρ] als gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funktionen.
Daraus folgt mühelos, daß sie stetig ist auf ganz (−r, r).
Satz 5.1.14. Das Integral eines gleichmäßigen Grenzwerts ist der
Grenzwert der Integrale. Sei genauer die Funktion f : [a, b] → R gleichmäßiger
Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen fn : [a, b] → R. So
gilt
b
a
f = lim
n→∞
Beweis. Für alle ε > 0 gibt es N ∈ N derart, daß gilt |f(x) − fn(x)| < ε für
alle n ≥ N und alle x ∈ [a, b]. Es folgt
b
a
für alle n ≥ N.
f −
b
a
fn
=
b
a
b
a
(f − fn)
≤
fn
b
a
|f − fn| ≤ (b − a)ε
Satz 5.1.15. Potenzreihen dürfen gliedweise integriert und differenziert
werden. Genauer gilt: