Analysis

566 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
das hier erklärte Flächenmaß übereinstimmen muß. Der Buchstabe σ steht
für englisch und französisch “surface”. Die Bezeichnung suggeriert zwar die
Vorstellung zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten, aber wir benutzen sie auch
im allgemeinen. Gegeben eine integrierbare Funktion f : M → R notieren
wir ihr Integral bezüglich des Flächenmaßes
M
f =
M
fσ =
M
f(x) σ〈x〉
In der Literatur ist es üblich, dσ hinter das Integral zu schreiben, und man
findet auch die Notationen dS und in der deutschen Literatur dω oder dO
mit ω oder O wie “Oberfläche”.
Ergänzung 6.9.3. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum X
und ein Skalarprodukt auf seinem Richtungsraum mit Einheiten in einem
orientierten eindimensionalen Vektorraum L im Sinne von ?? liefern die
analogen Definitionen auf jeder k-dimensionalen Untermannigfaltigkeit das
Flächenmaß in Gestalt eines topologischen Maßes mit Werten in L ⊗k . Unter
einem Maß mit Werten in einem eindimensionalen orientierten
Vektorraum T verstehen wir dabei eine σ-additive Abbildung von einer
σ-Algebra nach T≥0 ⊔ {∞}. In diesem Sinne messen sich also auch in der
Mathematik Längen in Metern, Flächen in Quadratmetern und Volumen in
Kubikmetern.
6.9.4. Gegeben eine Karte ϕ : W → M ist die Einschränkung des Oberflächenmaßes
auf ihr Bild ϕ(W ) also genau das Bild unter ϕ des Produkts des
Lebesgue-Maßes auf W mit der Funktion vol(dxϕ) = det (dxϕ) ⊤ (dxϕ) in
der Notation aus 4.5.6. Gegeben eine meßbare Funktion f : M → [0, ∞],
die außerhalb von ϕ(W ) verschwindet, haben wir nach 6.5.15 in [0, ∞] die
Identität
f = f(ϕ(x)) vol(dxϕ) d k x
M
W
Ist ähnlich eine Funktion f : M → R gegeben, die außerhalb von ϕ(W )
verschwindet, so ist f integrierbar über M genau dann, wenn die Funktion
unter dem Integral auf der rechten Seite unserer Gleichung integrierbar ist
über W , und dann gilt unsere Formel ganz genauso in R.
Beispiel 6.9.5 (Kurvenintegral als Integral nach einem Flächenmaß).
Ist ϕ : [a, b] → R n ein stetig differenzierbarer Weg derart, daß das Bild
des offenen Intervalls ϕ((a, b)) eine 1-Mannigfaltigkeit M ⊂ R n ist und ϕ :
(a, b) → M eine Karte von M, so ist jede stetige Funktion f : ϕ([a, b]) → R
integrierbar über M und ihr Integral über M ist genau das Kurvenintegral