Analysis

1456 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Nun ist aber ϕ −1 (ψ(0)) ⊂ Y endlich und wir finden nach dem Satz über lokale
Struktur holomorpher Funktionen 1.8.14 eine Umgebung U von ψ(0) derart,
daß in jeder Zusammenhangskomponente von ϕ −1 (U) genau ein Punkt von
ϕ −1 (ψ(0)) liegt. Verkleinern wir unsere Kreisscheibe D notfalls ein wenig,
so dürfen wir annehmen, daß D × ganz in einer Komponente von ϕ −1 (U)
landet. Wieder mit dem Satz über die lokale Struktur 1.8.14 sehen wir dann,
daß wir D × → Y stetig zu D → Y fortsetzen können, und der Riemann’sche
Hebbarkeitssatz liefert schließlich, daß diese stetige Fortsetzung holomorph
sein muß.
5.3.12. Für eine zusammenhängende Riemann’sche Fläche Y im Sinne von
VI.4.2.3 bezeichne M(Y ) ⊂ M an (Y ) den Körper derjenigen meromorphen
Funktionen auf Y, die entweder konstant sind oder jeden Wert höchstens
endlich oft annehmen. Ist X eine zusammenhängende kompakte Riemannsche
Fläche und E ⊂ X eine endliche Teilmenge, so liefert die Restriktion nach
2.1.14 einen Körperisomorphismus
M(X) ∼ → M(X\E)
Insbesondere können wir jede kompakte Riemannsche Fläche X aus der
durch das Weglassen endlich vieler Punkte entstehenden Riemannschen Fläche
X\E zurückgewinnen als die Menge aller Bewertungen des Körpers M(X\E).
In dieser Situation heißt X die Kompaktifizierung der Riemann’schen Fläche
Y = X\E. Analoges gilt allgemeiner und mit fast demselben Beweis,
wenn E ⊂ X eine abzählbare abgeschlossene Teilmenge ist. So liefert etwa
die kanonische Einbettung des Funktionenkörpers einen Isomorphismus
C(z) ∼ → M(C\Z).
Bemerkung 5.3.13. Die Operation von SL(2; Z) auf der oberen Halbebene
H + ist eigentlich, nach ?? macht folglich die finale Struktur den Bahnenraum
H + / SL(2; Z) zu einer Riemann’schen Fläche. Die Abbildung H + → C, z ↦→
e 2π i z definiert einen Isomorphismus des Bildes von {z ∈ H + | Im z > 1}
in H + / SL(2; Z) mit der punktierten offenen Kreisscheibe vom Radius e −2π ,
den wir verwenden, um diese Kreisscheibe an H + / SL(2; Z) anzukleben. So
entsteht eine kompakte Riemann’sche Fläche
H = H + / SL(2; Z) ⊔ {∞}
von der man zeigen kann, daß sie isomorph ist zu P 1 C. Im Rückblick können
wir sie natürlich auch als die Kompaktifizierung von H + / SL(2; Z) im
Sinne von 5.3.12 beschreiben. Die meromorphen Funktionen auf H + , die von
meromorphen Funktionen auf H herkommen, heißen Modulfunktionen.
Explizit sind das genau die meromorphen SL(2; Z)-invarianten Funktionen