Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1045
Folge T vn konvergent annehmen. Im Fall c = 0 ist unsere Behauptung eh
klar, und im Fall c = 0 folgt erst die Konvergenz von T 2 vn und dann die
Konvergenz der Folge c 2 vn und damit die Konvergenz der Folge vn selber. Gilt
nun etwa limn→∞ vn = v, so folgt unmittelbar v = 1 und T 2 v = c 2 v und c 2
ist in der Tat ein Eigenwert von von T 2 . Aus (T + c)(T − c)v = 0 folgt dann
aber auch, daß entweder v ein Eigenvektor von T zum Eigenwert c ist, oder
(T − c)v ein Eigenvektor von T zum Eigenwert −c. Damit haben wir gezeigt,
daß in der Tat entweder T oder −T ein Eigenwert von T ist. Der Rest des
Beweises ist nun schnell erledigt. Wäre das Erzeugnis der Eigenräume nicht
dicht, so wäre sein orthogonales Komplement nicht Null und unser Operator
hätte darin folglich einen Eigenvektor, Widerspruch. Wäre der Eigenraum zu
einem von Null verschiedenen Eigenwert nicht endlichdimensional, so gäbe
es darin eine Folge von paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, und deren
Bild könnte keine konvergente Teilfolge besitzen, Widerspruch.
Übung 10.6.5. Ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum ist genau
dann kompakt, wenn das Erzeugnis seiner Eigenräume dicht liegt, alle
seine Eigenräume zu von Null verschiedenen Eigenwerten endlichdimensional
sind, und wenn zusätzlich in jeder Umgebung von Null fast alle seiner
Eigenwerte enthalten sind.
Ergänzende Übung 10.6.6. Gegeben ein kompakter Operator T : H → H ′ von
einem Hilbertraum in einen weiteren Hilbertraum gibt es durch eine abzählbare
Menge N indizierte Orthonormalsysteme (vn)n∈N von H und (wn)n∈N
von H ′ und λn > 0 derart, daß für alle v ∈ H gilt
T (v) =
λn〈vn, v〉wn
n∈N
Hinweis: Man gehe aus von einer Hilbertbasis aus Eigenvektoren des kompakten
selbstadjungierten Operators T ∗ T .
Satz 10.6.7. Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig
und total beschränkt ist, als da heißt, er besitzt für jedes ε > 0
eine endliche Überdeckung durch ε-Bälle.
Beweis. Wir zeigen zunächst, daß jeder kompakte metrische Raum vollständig
ist. In der Tat besitzt ja unter unserer Annahme insbesondere auch jede
Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und muß damit schon selbst konvergent
sein. Daß jeder kompakte metrische Raum total beschränkt sein muß,
ist eh klar. Sei nun umgekehrt X vollständig und total beschränkt und sei
v : N → X eine Folge in X. Wir überdecken X durch endlich viele Bälle
mit Radius 1. In einem dieser Bälle müssen unendlich viele Folgenglieder liegen,
und diese bilden eine Teilfolge v 1 = v ◦ i1 für eine geeignete Injektion