Analysis

198 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Wir betrachten F : I → R wie im Hauptsatz 4.5.1 und folgern aus
der Eindeutigkeitsaussage von dort F (x) = G(x)−G(a) für alle x ∈ [a, b].
4.5.4. Ist G ein komplizierterer Ausdruck, so ist es bequem und üblich, die
Differenz G(b) − G(a) mit G(x)| b a abzukürzen. Man spricht einen solchen
Ausdruck “G, ausgewertet zwischen den Grenzen a und b”. Für a, b positiv
ergibt sich zum Beispiel
b
a
1
x dx = log x|b a = log b − log a
Die Ableitung von R × → R, x ↦→ log |x| ist im Übrigen x ↦→ 1/x, als da
heißt, für a, b negativ würden wir log |b|−log |a| erhalten. Über den Nullpunkt
hinweg dürfen wir die Funktion 1/x aber natürlich trotzdem nicht in dieser
Weise integrieren, und unser Korollar erlaubt das auch nicht, es trifft vielmehr
nur Aussagen über die Integration von auf einem Intervall definierten stetigen
Funktionen.
t
Übung 4.5.5. Gegeben α ∈ R zeige man, daß limt→∞ 1 xα dx existiert in
R und daß dieser Grenzwert endlich
ist genau dann, wenn gilt α < −1.
1
Des weiteren zeige man, daß limε→0 ε xα dx existiert in R und daß dieser
Grenzwert endlich ist genau dann, wenn gilt α > −1. Anschaulich gesprochen
ist also die Hyperbel x ↦→ (1/x) gerade der Grenzfall, in dem sowohl die
Fläche zwischen Kurve und x-Achse ab jedem x-Wert als auch symmetrisch
die Fläche zwischen Kurve und y-Achse ab jedem y-Wert unendlich groß sind.
Ergänzende Übung 4.5.6. Der Integrallogarithmus Li : (1, ∞) → R wird
erklärt durch die Vorschrift
Li(x) =
Man zeige limx→∞(x Li(x)/ log(x)) = 1.
4.6 Integrationsregeln
x
2
dt
log t
Satz 4.6.1 (Integration durch Substitution). Gegeben zwei reelle Zahlen
a < b und g : [a, b] → R stetig differenzierbar und f : g([a, b]) → R stetig gilt
b
a
f(g(x))g ′ (x) dx =
g(b)
g(a)
f(y) dy
wobei im Fall g(b) < g(a) das Integral rechts der Konvention 3.5.10 gemäß
als das Negative des Integrals über das Intervall [g(b), g(a)] zu verstehen ist.