Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1075
offene Quadrate Vi × Wi ⊂◦ X × Y mit x ∈ Vi und x × K ⊂
i Vi × Wi und
f(Vi × Wi) ⊂ U für alle i. Wegen der Kompaktheit von K finden wir sogar
eine endliche Familie offener Quadrate mit dieser Eigenschaft, indiziert sagen
wir durch 1 ≤ i ≤ n. Jetzt nehmen wir V = n i=1 Vi und haben f(V ×K) ⊂ U
alias ˜ f(V ) ⊂ O(K, U) wie gewünscht. Sei nun umgekehrt ˜ f : X → C(Y, Z)
stetig und sei f : X × Y → Z die induzierte Abbildung. Es gilt zu zeigen,
daß f stetig ist an jeder Stelle (x, y) ∈ X × Y . Sei also U ⊂◦ Z eine offene
Umgebung von f(x, y) = ( ˜ f(x))(y). Nach Annahme ist ˜ f(x) : Y → Z stetig
und Y lokal kompakt, folglich gibt es eine kompakte Umgebung K von y mit
( ˜ f(x))(K) ⊂ U, also ˜ f(x) ∈ O(K, U). Da ˜ f stetig ist, gibt es dann auch eine
Umgebung V von x mit ˜ f(V ) ⊂ O(K, U), also mit f(V ×K) ⊂ U und damit
ist V × K die gesuchte Umgebung von (x, y), die unter f nach U abgebildet
wird.
11.2.14. In der Terminologie der Kategorientheorie ?? bedeutet dieser Satz
übrigends, daß für lokal kompaktes Y der Funktor C(Y, ) rechtsadjungiert
ist zum Funktor ×Y . Ich folgere in Korollar 11.2.22, daß diese Abbildung im
Satz unter der zusätzlichen Annahme, daß auch X lokal kompakt ist, sogar
einen Homöomorphismus C(X × Y, Z) ∼ → C(X, C(Y, Z)) induziert.
Ergänzende Übung 11.2.15. Man zeige, daß für jeden lokal kompakten Raum
Y die Verknüpfung C(X, Y )×C(Y, Z) → C(X, Z) stetig ist. Hinweis: Gegeben
Q ⊂ V ⊂◦ Y eine kompakte Teilmenge in einer offenen Teilmenge gibt es unter
unseren Annahmen stets eine kompakte Teilmenge R ⊂ Y und eine offene
Teilmenge W ⊂◦ Y mit Q ⊂ W ⊂ R ⊂ V .
Ergänzung 11.2.16. Ein Raum Y heißt kompakt erzeugt genau dann, wenn
er Hausdorff ist und wenn die offensichtliche Abbildung
K∈K K → Y final
ist, für K ⊂ P(Y ) das System aller kompakten Teilräume, vergleiche etwa
[?]. Man kann zeigen, daß es in der Kategorie der kompakt erzeugten Räume
Produkte gibt, die allerdings nicht mit den üblichen Produkten in der Kategorie
aller topologischen Räume übereinstimmen, daß das Darankreuzen
einen Rechtsadjungierten hat, der allerdings nicht mit dem Raum der stetigen
Abbildungen und seiner kompakt-offenen Topologie übereinstimmt, und
daß in dieser Begrifflichkeit auch eine Variante des Exponentialgesetzes gilt.
Ergänzung 11.2.17. In anderer Richtung nennt man einen topologischen Raum
Y exponentiell genau dann, wenn C(Y, Z) für jeden Raum Y so mit einer
Topologie versehen werden kann, daß die natürliche Abbildung eine Adjunktion
mit ×Y liefert. Neben den lokal kompakten Räumen gibt es zwar noch
weitere exponentielle Räume, aber ich habe noch nie ein Beispiel gesehen, das
so natürlich wäre, daß es mich von der Sinnhaftigkeit dieser Begriffsbildung
hätte überzeugen können.