Analysis

1168 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
1. Es gibt genau ein Radonmaß µ ⊠ ν auf dem Produktraum X × Y mit
f(x)g(y)(µ ⊠ ν)〈x, y〉 = f(x)µ〈x〉 g(y)ν〈y〉
für alle f ∈ Cc(X, R) und g ∈ Cc(Y, R).
2. Für alle h ∈ Cc(X × Y ; R) gehört die Abbildung x ↦→ h(x, y)ν(y) zu
Cc(X, R) und es gilt h(x, y)(µ ⊠ ν)〈x, y〉 = ( h(x, y)ν〈y〉)µ〈x〉.
Insbesondere darf auch in dieser Situation die Integrationsreihenfolge vertauscht
werden.
Bemerkung 17.3.8. Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum X und ein
Kompaktum K ⊂ X bezeichne CK(X, R) ⊂ Cc(X, R) den Raum aller Funktionen
mit Träger in K, versehen mit seiner sup-Norm. So ist jedes positive
Funktional ϕ : Cc(X, R) → R stetig auf CK(X, R), denn es gibt h ∈ Cc(X, R)
mit h ≥ 0 und hK = 1, und für f ∈ CK(X, R) folgt aus f ≤ 1 sofort
|ϕ(f)| = |ϕ(f + ) − ϕ(f − )| ≤ ϕ(h).
Beweis. Ist X ein beliebiger topologischer Raum und Y kompakt, so macht
die offensichtliche Identifikation Ens(X × Y, R) ∼ → Ens(X, Ens(Y, R)) jede
stetige Abbildung h : X × Y → R zu einer stetigen Abbildung X → C(Y, R)
für die sup-Norm auf C(Y, R), vergleiche 11.2.13. Sind also X und Y lokal
kompakte Hausdorffräume und ist h : X × Y → R stetig mit kompaktem
Träger, so ist auch x ↦→ h(x, y)ν〈y〉 stetig mit kompaktem Träger. Das
zeigt schon mal, daß das Doppelintegral im zweiten Teil des Satzes existiert
wie behauptet. Insbesondere erhalten wir so ein Radonmaß auf X × Y , das
die Bedingung aus Teil 1 erfüllt. Es bleibt zu zeigen, daß es das einzige ist.
Dazu reicht es zu zeigen, daß sich für beliebige Kompakta K ⊂ X und
L ⊂ Y jedes h ∈ CK×L(X × Y, R) beliebig gut gleichmäßig appoximieren
läßt durch endliche Linearkombinationen von externen Produkten u ⊠ v mit
u ∈ CK(X, R) und v ∈ CL(Y, R). Auf dem kompakten Raum Z, der aus X ×Y
entsteht, wenn man den Abschluß des Komplements von K × L zu einem
Punkt ∗ identifiziert, bilden diese Linearkombinationen aber zusammen mit
der Eins eine Unteralgebra von C(Z, R), die die Punkte trennt. Damit sagt
uns Stone-Weierstraß III.3.2.7, daß wir beliebige h ∈ C(Z, R) beliebig gut
durch Elemente dieser Unteralgebra approximieren können, und Funktionen
mit h(∗) = 0 sogar beliebig gut durch Linearkombinationen von externen
Produkten u ⊠ v.
Definition 17.3.9. Unter einem Haar’schen Borelmaß oder genauer einem
linksinvarianten Haar’schen Borelmaß auf einer topologischen Gruppe
G verstehen wir ein von Null verschiedenes nichtnegatives Borelmaß µ mit
der Eigenschaft µ(gA) = µ(A) für jede Borelmenge A ⊂ G und alle g ∈ G.