Analysis

776 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
1.3.3. Gleichbedeutend könnten wir natürlich auch fordern, daß unser nicht
leer ist und sich nicht als disjunkte Vereinigung von zwei nichtleeren abgeschlossenen
Teilmengen schreiben läßt. Eine Teilmenge eines topologischen
Raumes nennen wir nach unseren allgemeinen Konventionen zusammenhängend
genau dann, wenn sie zusammenhängend ist als topologischer Raum mit
der induzierten Topologie.
1.3.4. In der Literatur wird meist auch die leere Menge zusammenhängend
genannt. Mir scheint das jedoch unnatürlich, da sich mit dieser Konvention
jeder zusammenhängende Raum in eine Vereinigung von zwei disjunkten
offenen zusammenhängenden Teilmengen zerlegen ließe.
Beispiel 1.3.5. Ein diskreter topologischer Raum ist zusammenhängend genau
dann, wenn er aus genau einem Punkt besteht.
Ergänzende Übung 1.3.6 (Die Sinuskurve des Topologen). Man betrachte
in R 2 die Vereinigung des Graphen der Funktion R × → R, x ↦→ sin(1/x) mit
der y-Achse und zeige, daß diese Teilmenge von R 2 zusammenhängend, aber
nicht wegzusammenhängend ist.
Satz 1.3.7. Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend.
Beweis. Wir zeigen zunächst, daß alle nichtleeren reellen Intervalle zusammenhängend
sind. In der Tat, wäre ein reelles Intervall I die disjunkte Vereinigung
I = U ⊔ V von zwei nichtleeren offenen Teilmengen, so wäre die
Abbildung f : I → R mit f(x) = 0 für x ∈ U und f(x) = 1 für x ∈ V
stetig, da eben unter dieser Abbildung Urbilder offener Mengen, ja sogar
beliebiger Mengen stets wieder offen wären. Die Existenz einer derartigen
Abbildung steht jedoch im Widerspruch zum Zwischenwertsatz II.3.2.6. Also
sind alle nichtleeren reellen Intervalle zusammenhängend. Nun argumentieren
wir durch Widerspruch. Sei X nicht leer und nicht zusammenhängend, also
die disjunkte Vereinigung X = U ⊔ V zweier nichtleerer offener Teilmengen.
Gäbe es einen Weg ϕ : [a, b] → X mit ϕ(a) ∈ U und ϕ(b) ∈ V , so wäre
[a, b] = ϕ −1 (U) ⊔ ϕ −1 (V ) eine disjunkte Zerlegung des Intervalls [a, b] in zwei
nichtleere offene Teilmengen, und das stünde im Widerspruch zu unserer Erkenntnis,
daß Intervalle zusammenhängend sind. Also kann es keinen solchen
Weg geben und X ist auch nicht wegzusammenhängend.
Ergänzende Übung 1.3.8. Das Bild eines zusammenhängenden Raums unter
einer stetigen Abbildung ist stets wieder zusammenhängend. Die zusammenhängenden
Teilmengen von R sind genau die nichtleeren Intervalle.
Lemma 1.3.9. Besitzt in einem topologischen Raum jeder Punkt eine wegzusammenhängende
Umgebung, so ist unser Raum zusammenhängend genau
dann, wenn er wegzusammenhängend ist.