Analysis

656 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
bei t = 0 ein Minimum an, folglich verschwindet dort ihre Ableitung, und
wir erhalten Re〈v − u, h〉 = 0 für alle h ∈ U. Damit haben wir die gesuchte
Zerlegung v = u + (v − u) mit u ∈ U und (v − u) ∈ U ⊥ gefunden.
Korollar 1.7.4 (Riesz’scher Darstellungssatz für Hilberträume). Jede
stetige Linearform auf einem Hilbertraum kann beschrieben werden als das
Bilden des Skalarprodukts mit einem durch die besagte Linearform eindeutig
bestimmten Vektor.
Beweis. Sei H unser Hilbertraum und l : H → C unsere Linearform. Der
Kern ker l ⊂ H ist ein abgeschlossener Teilraum und l induziert eine Injektion
(ker l) ⊥ ↩→ C. Im Fall l = 0 ist x = 0 das gesuchte Element von H. Sonst
finden wir genau ein x ∈ (ker l) ⊥ ∼ = C mit 〈x, v〉 = l(v) ∀v ∈ (ker l) ⊥ , und
da diese Gleichung eh gilt für alle v ∈ ker l, folgt sie für alle v ∈ H.
Definition 1.7.5. Sei A : H → H ′ eine lineare Abbildung von Hilberträumen
und B : H ′ → H eine lineare Abbildung in die Gegenrichtung. Die
Abbildungen A und B heißen adjungiert genau dann, wenn gilt
〈Av, w〉 = 〈v, Bw〉 ∀v ∈ H, w ∈ H ′
1.7.6. Wir werden in 3.2.1 zeigen, daß eine lineare Abbildung zwischen Hilberträumen
genau dann stetig ist, wenn sie eine adjungierte Abbildung besitzt.
In der folgenden Übung sollen Sie von dieser Aussage die einfache Richtung
zeigen.
Übung 1.7.7. Jede stetige lineare Abbildung von Hilberträumen hat genau
eine adjungierte Abbildung, und diese ist auch stetig. Man notiert die adjungierte
Abbildung zu A in der mathematischen Literatur meist A ∗ , in der physikalischen
Literatur dahingegen meist A † . Man zeige nun weiter (A ∗ ) ∗ = A
und (AB) ∗ = B ∗ A ∗ und (λA) ∗ = ¯ λA ∗ für λ ∈ C und A = A ∗ sowie
A ∗ A = A 2 für die Operatornorm. Hinweis: Zuerst mag der Riesz’sche
Darstellungssatz helfen, angewandt auf v ↦→ 〈Av, w〉 für festes w, dann die
Erkenntnis A = sup{〈Av, v ′ 〉 | v = v ′ = 1} im Fall, daß keiner unserer
beiden Räume der Nullraum ist.
Übung 1.7.8. Die orthogonalen Projektionen auf abgeschlossene Teilräume
eines Hilbertraums sind genau die idempotenten selbstadjungierten Operatoren,
als da heißt die stetigen linearen Selbstabbildungen P unseres Hilbertraums
mit P 2 = P und P ∗ = P.
Übung 1.7.9. Eine stetige lineare Abbildung zwischen Hilberträumen hat
dichtes Bild genau dann, wenn die adjungierte Abbildung injektiv ist. Allgemeiner
zeige man, daß das orthogonale Komplement des Bildes der Kern der
adjungierten Abbildung ist.