Analysis

846 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Lemma 3.9.4. Versehen wir K d \0 mit der von K d induzierten Topologie,
so liefert das Anwenden auf einen beliebigen von Null verschiedenen Vektor
eine finale Abbildung GL(d; K) → K d \0.
Beweis des Lemmas. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen,
daß unsere Abbildung das Anwenden auf den ersten Vektor der
Standardbasis π : A ↦→ A e1 ist. Nach 3.4.21 reicht es, für jeden Vektor
v = 0 eine offene Umgebung U zu finden derart, daß π : π −1 (U) → U final
ist. Nach 3.4.14 reicht es, besagte offene Umgebung U so zu finden, daß
π : π −1 (U) → U einen stetigen Schnitt besitzt. Dazu wählen wir zu unserem
von Null verschiedenen Vektor v eine invertierbare Matrix A = (a1|a2| . . . |ad)
mit erster Spalte a1 = v und nehmen als U = K d \〈a2, . . . , ad〉 das Komplement
des Erzeugnisses ihrer anderen Spalten und als stetigen Schnitt auf U
die Abbildung w ↦→ (w|a2| . . . |ad), die jedem w ∈ U die Matrix zuordnet, die
aus A entsteht beim Ersetzen der ersten Spalte durch w.
Um zu zeigen, daß unsere projektiven Räume die Topologie als homogener
Raum von GL(n + 1; K) tragen, betrachten wir die Abbildungen
GL(n + 1; K) ↠ K n+1 \0 ↠ P n K
von denen die Erste gegeben wird durch das Anwenden auf e1. Versehen
wir P n K mit seiner Topologie als homogener Raum von GL(n + 1; K), so
sind nach 3.9.4 beide Abbildungen stetig und nach 3.4.14 ist auch die Zweite
final. Damit stimmt auf P n K die Topologie als homogener Raum überein
mit der Topologie aus unserer Definition 3.9.1. Die Hausdorff-Eigenschaft
folgt dann aus 3.8.10, da die Isotropiegruppen unseres homogenen Raums
P n K offensichtlich abgeschlossen sind. Identifizieren wir in R-linearer Weise
K n+1 ∼ = R m und bezeichnen mit S = S m−1 ⊂ K n+1 die Menge aller Vektoren
der Länge Eins für das Standard-Skalarprodukt des R m , eine hochdimensionale
Sphäre, so erhalten wir eine stetige Surjektion S ↠ P n K. Als Bilder
kompakter Räume sind demnach unsere projektiven Räume kompakt. Somit
müssen wir nur noch für jeden Punkt eine zu K n homöomorphe offene Umgebung
finden. Wir betrachten dazu einen beliebigen endlichdimensionalen
K-Vektorraum W und zeigen, daß für jede affine Hyperebene H ⊂ W , die
den Ursprung vermeidet, die Injektion iH : H ↩→ PW gegeben durch v ↦→ 〈v〉
eine offene Einbettung ist. Ist in der Tat H ⊂ W der Untervektorraum der
Richtungsvektoren unserer affinen Hyperebene H, so ist π −1 (π(H)) = W \ H
offen in W \0. Mithin hat unsere Injektion iH : H ↩→ PW offenes Bild. Nun
betrachten wir das kommutative Diagramm