Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 901
Übung 4.9.8. Man zeige für einen R-Vektorraum V der Dimension n, daß die
Dimension der Graßmann’schen seiner m-dimensionalen Teilräume gegeben
wird durch die Formel
dim(Gr(m; V )) = m(n − m)
Proposition 4.9.9. Ist G eine Liegruppe und N ⊂ G ein abgeschlossener
Normalteiler, so ist auch G/N eine Liegruppe.
Erster Beweis. Das Produkt von Submersionen ist eine Submersion, das Produkt
von Surjektionen ist eine Surjektion, und surjektive Submersionen sind
final nach 4.3.17. Mithin ist G × G ↠ G/N × G/N final und damit die
Multipliaktion G/N × G/N → G/N glatt.
Zweiter Beweis. Da Finalität lokal ist in der Basis nach 4.1.29, und da die
Projektionen eines Produkts von Mannigfaltigkeiten auf seine Faktoren final
sind, folgt aus der lokalen Trivialität des Quotientenmorphismus nach 4.9.3
unmittelbar, daß auch G × G ↠ G/N × G/N final und damit die Multipliaktion
G/N × G/N → G/N glatt ist.
Übung 4.9.10. Ist G eine Liegruppe und H ⊂ G eine abgeschlossene Untergruppe,
so ist die Operation G × G/H → G/H glatt.
Definition 4.9.11. Eine Mannigfaltigkeit X mit einer transitiven Operation
einer Liegruppe G derart, daß für jeden Punkt x ∈ X die Operation einen
∼
Diffeomorphismus G/Gx → X induziert, heißt auch ein homogener Raum
für unsere Liegruppe G. Zum Beispiel ist die Kugelschale ein homogener
Raum für die Drehgruppe.
Proposition 4.9.12. Eine Mannigfaltigkeit mit einer transitiven Operation
einer Liegruppe ist stets ein homogener Raum für besagte Liegruppe.
4.9.13. Beim Beweis dieser Proposition geht wesentlich ein, daß wir bei unserer
Definition einer Liegruppe die Separabilität mit gefordert hatten.
Beweis. Sei G × X → X unser homogener Raum. Gegeben x ∈ X liefert
das Anwenden auf x wegen der universellen Eigenschaft des Quotienten eine
glatte bijektive Abbildung G/Gx → X vom Quotienten nach der Isotropiegruppe
von x in unseren homogenen Raum. Nach Übung 4.6.24 ist deren
Differential injektiv beim Bild des neutralen Elements in G/Gx, und mit
Verschieben folgt, daß es überall injektiv sein muß. Wir sind fertig, wenn wir
zeigen können, daß es überall bijektiv sein muß. In allen Anwendungen, die
mir einfallen, ist nun die Identität
dim G = dim X + dim Gx