Analysis

1256 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
gibt mit
L + = {v ∈ X | x(v) 2 + y(v) 2 + z(v) 2 − t(v) 2 = 0, t(v) ≥ 0}
Die Elemente des von der Menge der lichtartigen Vektoren erzeugten Kegels
kausale Vektoren und die Elemente im Komplement dieses Kegels raumartige
Vektoren. Die Bezeichnung als “kausaler Vektor” soll zum Ausdruck
bringen, daß ein Ereignis nur Ereignisse beeinflussen kann, die von ihm aus
durch die Addition derartiger Vektoren erreichbar sind, daß also “keine Wirkung
schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausgeübt werden kann”.
3.15.8. Wohin? Der Satz von Alexandrov besagt, daß die Struktur auf
X als vierdimensionaler reeller affiner Raum auf X bereits durch die Teilmenge
L + ⊂ X 2 eindeutig bestimmt ist, wenn solch eine Struktur überhaupt
existiert. Dazu reicht es, für X = R 4 mit
L + = {(p, q) ∈ X 2 | (p1−q1) 2 +(p2−q2) 2 +(p3−q3) 2 −(p4−q4) 2 = 0, q4 ≥ p4}
zu zeigen, daß alle Bijektionen φ : X ∼ → X mit (φ × φ)(L + ) = L + notwendig
bereits affin sind. Das wird ausgeführt in [Ben92]. Wir können Lichtstrahlen,
als da heißt Geraden mit lichtartigem Richtungsvektor, allein mithilfe der
Daten (X, L + ) beschreiben als die maximalen Teilmengen L ⊂ X mit der
Eigenschaft, daß für alle p, q ∈ L gilt (p, q) ∈ L + oder (q, p) ∈ L + . Weiter
sind drei paarweise verschiedene Ereignisse p, q, r, deren affines Erzeugnis
raumartig ist, genau dann kolinear, wenn die drei von ihnen ausgehenden
Lichtkegel keinen Punkt gemeinsam haben: Um das zu prüfen, benutzt man
den Satz von Witt, der uns liefert, daß unsere etc.
3.15.9. Auf der Raumzeit X betrachten wir die kleinste transitive und reflexive
Relation K + im Sinne von II.1.2.1, die die Relation L + umfaßt. Explizit
haben wir also (p, q) ∈ K + genau dann, wenn es eine Sequenz von Ereignissen
p = p0, p1, . . . , pn = q gibt mit (pi−1, pi) ∈ L + für i = 1, . . . , n. Wir
sagen dann auch, q liege kausal zu p. Sind Ereignisse p, q gegeben derart,
daß weder p kausal liegt zu q noch q kausal zu p, so sagen wir, die Ereignisse
liegen raumartig zueinander.
3.15.10. Wohin?
1.) Zwei raumartige Punkte können zeitgleich gemacht werden
Die Punkte unseres Anschauungsraums wie Zimmerecken oder Kirchturmspitzen
beschreiben eine Schar paralleler Geraden in unserer Raumzeit,
jedenfalls in erster Näherung. Ich hätte das allerdings viel lieber aus einer
Eindeutigkeit zusammen mit der Invarianz der Maxwell’schen Gleichungen
gefolgert, statt es sozusagen als zusätzliche Annahme über die Beziehung
unseres Modells zur materiellen Wirklichkeit hinzuzunehmen.