Analysis

4. ERSTE ANWENDUNGEN IN DER ZAHLENTHEORIE 1423
(1, 2), wenn χ nicht konstant ist, und unbeschränkt auf (1, 2) für den konstanten
Charakter. Dasselbe gilt für die holomorphen Funktionen, die durch
die Ausdrücke
−
p∤m
χ(p) log(p)
p z
gegeben werden, denn deren Differenz zu den zuvor betrachteten logarithmischen
Ableitungen wird gegeben durch die Reihen χ(p)
p∤m
2 log(p)
pz (pz , die sogar
−χ(p))
auf der Halbebene Re(z) > 1/2 holomorphe Funktionen definieren. Die Charaktertheorie
aus 4.2.14 liefert uns nun, daß gegeben eine endliche abelsche
Gruppe G und darin ein Element g ∈ G die Funktion f : G → C gegeben
durch
f(h) =
χ(g −1 )χ(h)
χ∈X(G)
bei h = g den Wert |G| annimmt und sonst den Wert Null. Wenden wir das an
auf G = (Z/mZ) × und kürzen X((Z/mZ) × ) = X ab, so erhalten wir für jede
feste prime Restklasse r und alle χ ∈ X komplexe Zahlen aχ = (χ(¯r)|G|) −1
von Betrag |G| −1 derart, daß für alle n ∈ Z gilt
aχχ(n) =
χ∈X
Daraus folgt für Re(z) > 1 die Identität
χ∈X
aχ
p∤m
1 ¯n = ¯r;
0 sonst.
χ(p) log(p)
p z =
p≡r(mod m)
log p
p z
Links steht hier eine auf dem reellen Intervall (1, 2) unbeschränkte Funktion,
da nach 4.2.7 für alle nichtkonstanten Charaktere die L-Reihe holomorph ist
ohne Nullstelle bei Eins, für den konstanten Charakter jedoch meromorph
mit einem Pol bei Eins. Rechts steht folglich auch eine auf auf dem reellen
Intervall (1, 2) unbeschränkte Funktion und insbesondere eine unendliche
Summe.
Ergänzung 4.2.15. Ein Dirichlet-Charakter modulo m ist natürlich auch ein
Dirichlet-Charakter modulo mn für jedes n ≥ 1. Gegeben ein Dirichlet-
Charakter χ : Z → C heißt das kleinste positive m derart, daß er von einem
Gruppenhomomorphismus (Z/mZ) × → C × herkommt, der Führer des besagten
Dirichlet-Charakters und wir sagen dann auch, χ sei ein primitiver
Dirichlet-Charakter modulo m.