Analysis

868 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ergänzung 4.3.13. Statt mit C1 -Mgf ∗
aff könnten wir in 4.3.11 ebensogut auch
mit der noch kleineren Unterkategorie C1 -Mgf ∗
koor arbeiten, deren Objekte
punktierte offene Teilmengen x ∈ U ⊂◦ Rn sind für n ∈ N. Statt mit
dem Differentialfunktor können wir dann noch expliziter mit dem Jacobi-
Funktor C 1 -Mgf ∗
koor → R -Mod arbeiten, der jeder punktierten offenen Teilmenge
p ∈ U ⊂◦ R n den R n zuordnet und jeder C 1 -Abbildung ϕ : U → V mit
ϕ(p) = q für q ∈ V ⊂◦ R m die durch die Jacobimatrix bei p gegebene lineare
Abbildung ∂ϕj
∂xi
(p) : R n → R m
Dieser Zugang ist zwar in gewisser Weise elementarer, transportiert aber in
meinen Augen weniger Anschauung. Deshalb ziehe ich den zuvor erklärten
Zugang vor.
4.3.14. Eine glatte Abbildung von glatten Mannigfaltigkeiten heißt eine Immersion
genau dann, wenn ihr Differential an jeder Stelle injektiv ist. Hier
wird nicht gefordert, daß unsere Abbildung ein Homöomorphismus auf ihr
Bild sein muß, ja noch nicht einmal, daß sie selbst injektiv sein muß. Manche
Quellen, zum Beispiel [War83], verwenden den Begriff einer Untermannigfaltigkeit
als Synonym für das, was wir und auch er eine “injektive Immersion”
nennen würden. Ich mag die in [War83] verwendete Terminologie nicht, da
ein- und dieselbe Teilmenge einer Mannigfaltigkeit im Sinne dieser Terminologie
verschiedene Strukturen als Untermannigfaltigkeit tragen kann.
Übung 4.3.15. Man bestimme für p ∈ K n+1 \0 den Kern des Differentials bei
p der kanonischen Projektion auf den projektiven Raum P n K.
4.3.16 (Tangentialraum eines Produkts). Gegeben glatte Mannigfaltigkeiten
X, Y und Punkte x ∈ X sowie y ∈ Y induzieren die Differentiale der
Projektionen einen Vektorraumisomorphismus
can = (d(x,y) pr 1, d(x,y) pr 2) ⊤ : T(x,y)(X × Y ) ∼ → TxX × TyY
zwischen dem Tangentialraum des Produkts und dem Produkt der Tangentialräume.
Die Notation lehnt sich an die in ?? vereinbarten Konventionen
an: Vektoren aus direkten Summen werden als Spalten mit Einträgen in den
Summanden aufgefaßt und der obere Index ⊤ in obiger Formel transponiert
die gegebene Zeilenmatrix von Homomorphismen zu einer Spaltenmatrix. Der
behauptete Isomorphismus folgt sofort aus der expliziten Beschreibung der
Produktmannigfaltigkeit durch Karten. Die inverse Abbildung kann entsprechend
geschrieben werden als can −1 = (dx(idX, y), dy(x, idY )), wobei das y
vorne und das x hinten jeweils die entsprechenden konstanten Abbildungen
meinen.