Analysis

1134 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
von algebraischen Gruppen von K in die Automorphismengruppe der Lie-
Algebra g derart, daß die beiden folgenden Diagramme kommutieren:
K × k Ad
→ k
id ×i ↓ ↓ i
a
K × g
→ g
k
da
→ End g
i ↓
g ad → End g
In Worten soll also i eine K-äquivariante Abbildung sein und das Differential
von a soll übereinstimmen mit ad ◦i, und in Formeln ausgedrückt fordern wir
i((Ad k)X) = (a(k))(i(X)) ∀k ∈ K, X ∈ k und (da)(X) = ad(iX) ∀X ∈
k.
Bemerkung 13.5.2. Ist K zusammenhängend, so folgt die erste Bedingung
schon aus der Zweiten, die ja liefert, daß i für die abgeleiteten Operationen
von k ein Homomorphismus von Darstellungen ist. Ist K endlich, so ist die
zweite Bedingung stets erfüllt.
Beispiel 13.5.3. Ist G eine Lie-Gruppe, K ⊂ G eine kompakte Untergruppe,
g = (Lie G) ⊗R C die Komplexifizierung von g und KC die Komplexifiierung
von K, so ist (g, KC) ein Lie-Paar in offensichtlicher Weise.
Definition 13.5.4. Sei (g, K) ein Lie-Paar. Ein (g, K)-Modul ist ein komplexer
Vektorraum V mit einer Operation von g und einer algebraischen Operation
von K derart, daß die beiden folgenden Verträglichkeitsbedingungen
erfüllt sind:
1. Die Operation g × V → V ist K-äquivariant für die durch a gegebene
Operation von K auf g.
2. Das Differential k × V → V der Operation von K stimmt überein mit
der Restriktion vermittels i der Operation g × V → V.
Die Kategorie (g, K) -Mod aller (g, K)-Moduln ist eine abelsche C-Kategorie
in offensichtlicher Weise.
Beispiel 13.5.5. Ist G eine Lie-Gruppe, K ⊂ G eine kompakte Untergruppe
und V eine K-zulässige von-Neumann-Darstellung von G im Sinne von
13.2.15, so ist der Teilraum VK der K-endlichen Vektoren ein (g, KC)-Modul
nach 13.2.16.
Beispiel 13.5.6. Ist (g, K) ein Lie-Paar mit zusammenhängendem K, so ist
das Vergessen der K-Operation ein volltreuer Funktor (g, K) -Mod → g -Mod,
dessen Bild aus allen Darstellungen der Lie-Algebra g besteht, auf denen die
durch i gegebene Operation von Lie K lokal endlich ist und zu einer Operation
von K integriert werden kann. Ist K halbeinfach und einfach zusammenhängend,
so sind das genau alle Darstellungen von g mit lokal endlicher
Operation von Lie K.