Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1255
SkriptenBilder/BildRel.png
Diese Bilder stellen die Sichtweisen des Bahnhofsvorstehers und des
Schaffners in 3.15.4 dar. Im linken Schaubild hat der Bahnhofsvorsteher Ort
gegen Zeit aufgetragen von Rücklicht, Schaffner und Vorderlicht, wobei
seine Zeitachse senkrecht nach oben zeigt und seine Ortsachse waagerecht
nach rechts. Er benutzt Einheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit Eins
ist, und hat die Lichtbewegung gestrichelt eingetragen. Der Zug fährt halbe
Lichtgeschwindigkeit, und die Zackenlinie durch die beiden
“Lampen-gehen-an-Punkte” besteht aus Ereignissen, denen der Schaffner
allen dieselbe Zeitkoordinate geben würde, sagen wir die Zeitkoordinate
Null. Das rechte Schaubild hat der Schaffner gezeichnet. Die beiden
vereinbaren, ihre Einheiten für Längen und Zeiten so zu wählen, daß die
Lichtgeschwindigkeit Eins ist. Es fällt ihnen schwer, ihre Maßstäbe zu
vergleichen, ohne ihren Streit über Gleichzeitigkeit wieder aufleben zu
lassen (Besser: Maßstab querhalten?), aber das gelingt mit folgendem Trick:
Beide wählen ihre Orts- und Zeitkoordinaten (x(p), t(p)) ∈ R 2 für den
Bahnhofsvorsteher bzw. (x ′ (p), t ′ (p)) ∈ R 2 für den Schaffner eines
Ereignisses p derart, daß für je zwei Ereignisse p, q gilt
(x(p) − x(q)) 2 − (t(p) − t(q)) 2 = (x ′ (p) − x ′ (q)) 2 − (t ′ (p) − t ′ (q)) 2
Sie finden so die Umrechnung x ′ = ( √ 1 + b 2 )x + bt und
t ′ = bx + ( √ 1 + b 2 )t + 4/ √ 3 mit b = − 1/3. Wie Sie sehen, scheint dem
Schaffner sein Zug um den Faktor 2/ √ 3 länger als dem Bahnhofsvorsteher.