Analysis

292 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
2. Die Nullstellen des Cosinus sind genau die halbzahligen Vielfachen von
π, in Formeln {t ∈ R | cos t = 0} = { π + nπ | n ∈ Z}.
2
Beweis. Zunächst einmal zeigen wir durch Widerspruch, daß der Cosinus
überhaupt positive Nullstellen hat. Sicher gilt cos(0) = 1 > 0. Hätte der
Cosinus keine positive Nullstelle, so müßte cos t positiv bleiben für alle t ≥ 0.
Dann müßte nach 4.3.11 also der Sinus streng monoton wachsen auf [0, ∞)
und damit müßte x
sin t dt = cos 0 − cos x
0
für x → ∞ über alle Grenzen wachsen. Das ist aber unmöglich, denn es
gilt cos 2 ≤ cos 2 + sin 2 = 1. Folglich hat der Cosinus eine kleinste positive
Nullstelle
a = inf{t ∈ R | t > 0 und cos t = 0}
Wir zeigen als nächstes, daß gilt a = π/2. Der Cosinus ist natürlich positiv
auf (−a, a), folglich ist der Sinus streng monoton auf [−a, a], und aus
cos 2 + sin 2 = 1 und sin ′ (0) > 0 folgt sin(−a) = −1, sin(a) = 1. Der Sinus
definiert also eine Bijektion
sin : [−a, a] ∼ → [−1, 1]
Da sich die Länge eines Weges nach 7.1.3 unter surjektiver monotoner Umparametrisierung
nicht ändert, ist nun unser in 2.4.1 und in 7.1.3 definiertes
π auch die Länge des Weges
und wir erhalten
π = L(γ) =
γ : [−a, a] → R 2
t ↦→ (sin t, cos t)
a
−a
cos2 t + sin2 a
t dt = 1 dt = 2a
−a
Damit ist in der Tat π/2 die kleinste positive Nullstelle des Cosinus und wir
erhalten gleichzeitig sin(π/2) = 1. Mit den Additionsformeln 7.6.4 folgern wir
sin(x+ π
π
) = cos x, cos(x+ ) = − sin x, insbesondere ergibt sich sin(x+π) =
2 2
− sin x und cos(x + π) = − cos x und damit sin(nπ) = 0 ∀n ∈ Z. Hätte
der Sinus noch eine weitere Nullstelle, so fänden wir mithilfe der Formel
sin(x + π) = − sin x auch eine Nullstelle des Sinus in (0, π) und damit eine
Nullstelle des Cosinus in (−π/2, π/2). Da gilt cos t = cos(−t) hätten wir
dann sogar eine Nullstelle des Cosinus in [0, π/2), und das ist unmöglich. Also
haben der Sinus und dann auch der Cosinus genau die im Satz behaupteten
Nullstellen.