Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 439
SkriptenBilder/Bild0023.png
Schaltet man den Taschenrechner ein, stellt auf Bogenmaß und drückt
wiederholt die Taste “cos”, so wird man feststellen, daß sich die Zahl in der
Anzeige nach einer gewissen Zeit überhaupt nicht mehr ändert. Um das zu
verstehen beachte man, daß der Cosinus eine kontrahierende
Selbstabbildung des Intervalls [0, 1] liefert, da nämlich seine Ableitung dort
betragsmäßig durch sin(1) ∈ (0, 1) beschränkt ist. Der Beweis des
Fixpunktsatzes 4.1.8 zeigt, daß unter diesen Umständen das wiederholte
Anwenden stets eine Folge liefert, die gegen den Fixpunkt konvergiert.