Analysis

962 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Winkel zwischen je zwei nichtproportionalen Wurzeln α und β bezüglich jedes
spiegelungsgruppeninvarianten Skalarprodukts ( , ) auf 〈R〉Q gegeben durch
4 cos 2 (Winkel zwischen α und β) = 〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉 ∈ {0, 1, 2, 3}
und je zwei nichtorthogonale Wurzeln haben das Längenverhältnis
α2 β2 = 〈α, β∨ 〉
〈β, α∨ 〉
Beweis. Beides folgt sofort aus der Formel 〈α, β ∨ 〉 = 2(α, β)/(β, β), die man
für jedes spiegelungsgruppeninvariante Skalarprodukt ( , ) auf 〈R〉Q daraus
folgert, daß die Abbildung λ ↦→ λ − 2((λ, β)/(β, β))β die Wurzel β auf ihr
Negatives wirft und das orthogonale Komplement von β punktweise festhält:
Also muß sie mit unserer Spiegelung sβ : λ ↦→ λ − 〈λ, β ∨ 〉β übereinstimmen.
6.4.36. Die in 6.4.33 erklärten Cartan-Matrizen endlicher Gitterspiegelungsgruppen
mit stabiler Wurzelwahl haben typischerweise nur sehr wenige von
Null verschiedene Einträge, auf der Diagonalen stehen nur Zweier, außerhalb
der Diagonalen sind alle Einträge nichtpositiv, und es gilt
0 ≤ 〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉 < 4
sowie 〈α, β ∨ 〉 = 0 ⇔ 〈β, α ∨ 〉 = 0. Es ist deshalb sehr viel übersichtlicher,
die in der Cartan-Matrix enthaltene Information graphisch darzustellen im
sogenannten Dynkin-Diagramm, das wie folgt gebildet wird: Man malt
zunächst für jede Wurzel α ∈ S(A) einen dicken Punkt. Dann verbindet
man je zwei verschiedene Punkte α = β durch einen (〈α, β ∨ 〉〈β ∨ , α〉)-fachen
Strich bzw. gar nicht, falls gilt (〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉) = 0. Schließlich versieht man
die 2-fachen und 3-fachen Striche mit einem Pfeil in Richtung der Wurzel α
mit 〈α, β ∨ 〉 = −1, d.h. in Richtung der kürzeren Wurzel bezüglich eines und
damit jedes unter der Weylgruppe invarianten Skalarprodukts.
Beispiel 6.4.37. Das Dynkindiagramm zur Gruppe U(n) wäre etwa das Diagramm
An−1 in nebenstehendem Bild.
Satz 6.4.38 (Kompakte Liegruppen mit trivialem Zentrum). Ordnen
wir jeder kompakten Liegruppe das Dynkindiagramm der zugehörigen Gitterspiegelungsgruppe
mit stabiler Wurzelwahl zu, so erhalten wir eine Bijektion
auf Isomorphieklassen
⎧
⎨
⎩
zusammenhängende
kompakte Liegruppen
mit trivialem Zentrum
⎫
⎬
⎭
∼
→
⎧
⎨
⎩
Endliche Multimengen
von Diagrammen aus
der nebenstehenden Liste
⎫
⎬
⎭