Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 493
in dieser Weise veranschaulichen. Dasselbe gilt, wenn A nur auf einer Teilmenge
U ⊂ R × X definiert ist. Der Fall eines zeitabhängigen Vektorfelds A
kann leicht auf den Fall des zeitunabhängigen Vektorfelds (1, A) : U → R× X
zurückgeführt werden: In der Tat ist γ eine Integralkurve unseres zeitabhängigen
Vektorfelds genau dann, wenn (id, γ) eine Integralkurve des zeitunabhängigen
Vektorfelds (1, A) ist, und jede Integralkurve von (1, A) ist etwa nach
5.1.10 bis auf eine Zeitverschiebung von dieser Gestalt. Allerdings gelingt
es im Fall zeitabhängiger Felder, die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung
bei einer direkten Betrachtung unter schwächeren Annahmen zu zeigen, und
das führt insbesondere bei der Behandlung linearer Differentialgleichungen
zu einfacheren Aussagen.
Beispiel 5.1.20 (Eindimensionale zeitabhängige Felder). Gegeben sind
etwa U ⊂◦ R 2 und a : U → R und man interessiert sich Lösungen der Gleichung
˙x = a(t, x)
Unter einer “Lösung” versteht man hierbei ein Paar (γ, I) mit I ⊂ R einem
halboffenen Intervall und γ : I → R einer differenzierbaren Funktion, deren
Graph in U enthalten ist und für die gilt
˙γ(t) = a(t, γ(t)) ∀t ∈ I
Ich habe hier Lösungen als γ(t) und nicht als x(t) geschrieben, wie es die
Gleichung suggeriert, in der Hoffnung, daß das zum besseren Verständnis
beiträgt. Hängt a(t, x) gar nicht von x ab, also a(t, x) = a(t), so sind die
Lösungen unserer Differentialgleichung natürlich genau die Stammfunktionen
von a. Hängt a(t, x) dahingegen nicht von t ab, also a(t, x) = a(x), so sind die
Lösungen unserer Differentialgleichung nichts anderes als die Integralkurven
des auf einer geeigneten Teilmenge von R definierten Vektorfelds a(x), die
wir bereits in 5.1.14 diskutiert hatten.
5.1.21. Seien V, W ⊂◦ R offen und a : V → R, b : W → R stetig. Differentialgleichungen
der Gestalt
˙x = a(x)b(t)
lassen sich oft mit der Methode der Separation der Variablen oder deutsch
Variablentrennung lösen. Ich führe zunächst dieses Verfahren vor und erkläre
dann, inwiefern wir dabei implizit unsere Gleichung in eine Gleichung
mit separierten Variablen im Sinne von 5.1.18 transformieren. Wir nehmen
an, a habe keine Nullstelle und V sei ein Intervall. Gegeben eine Lösung
γ : I → R kann die Gleichung ˙γ(t) = a(γ(t))b(t) dann auch geschrieben
werden als
˙γ(t)
= b(t)
a(γ(t))