Analysis

402 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
von U in den Raum Bil( X) aller bilinearen Abbildungen X × X → R. Eine
Riemann’sche Metrik auf U ist ein 2-Tensor g, der jedem Punkt p ∈ U
ein Skalarprodukt gp auf X zuordnet.
Beispiel 3.2.4. Das Standardskalarprodukt auf R n liefert eine Riemann’sche
Metrik auf R n und auf jeder offenen Teilmenge U ⊂◦ R n . Gegeben Kovektorfelder
ω und η auf einer offenen Teilmenge U eines endlichdimensionalen
reellen Raums X können wir den 2-Tensor
ω ⊗ η : U → Bil( X)
p ↦→ ωp ⊗ ηp
betrachten. Weiter können wir 2-Tensoren punktweise addieren und mit Funktionen
multiplizieren. Die übliche Riemann’sche Metrik auf Rn kann in diesen
Konventionen geschrieben werden als s = dx ⊗2
1 + . . . + dx ⊗2
n . Eine beliebige
Riemann’sche Metrik g auf einer offenen Teilmenge U ⊂◦ R n hat in diesen
Notationen die Gestalt
n
i,j=1
gij dxi ⊗ dxj
für Funktionen gij : U → R, die an jedem Punkt p ∈ U eine positiv definite
symmetrische Matrix bilden.
3.2.5. Gegeben ein Vektorraum V über einem Körper k liefert jede Bilinearform
g ∈ Bil(V ) eine Abbildung
cang : V → V ∗
v ↦→ (w ↦→ g(v, w))
von unserem Vektorraum in seinen Dualraum, die jedem Vektor v die Linearform
“Paare mit v” zuordnet. Zum Beispiel hätten wir canλ⊗η(v) = λ(v)η.
Gleichberechtigt könnten wir auch die Abbildung can 2 g : v ↦→ (w ↦→ g(w, v))
betrachten und müßten dann, um dieser Gleichberechtigung Ausdruck zu verleihen,
eigentlich genauer cang = can 1 g schreiben. Das würde jedoch die Notation
schwerfälliger machen, und ich denke, diese zusätzliche Schwere wiegt
den Gewinn an Klarheit nicht auf. An dieser Stelle möchte ich auch allen
Leserinnen versichern, daß sie ganz genauso gemeint sind, wenn einmal von
“dem Leser” die Rede ist. Ich denke auch in diesem Zusammenhang, daß die
zusätzliche Schwere der geschlechtsneutralen Formulierungen den Gewinn an
Klarheit nicht aufwiegt. Ist speziell g nichtausgeartet und V endlichdimen-
sional, so ist cang ein Isomorphismus cang : V ∼ → V ∗ und wir können auch
sein Inverses can −1
g : V ∗ ∼ → V betrachten.