Analysis

360 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
“diejenige lineare Abbildung L, für die x ↦→ f(p) + L(x − p) unsere Funktion
x ↦→ f(x) in der Nähe von p am besten approximiert”. Veranschaulichen wir
uns zum Beispiel eine Funktion f : R 2 → R durch ihren Graphen, eine hügelige
Landschaft, so ist die “Tangentialebene” an unsere hügelige Landschaft im
Punkt (p, f(p)) im verschobenen Koordinatensystem mit Ursprung (p, f(p))
gerade der Graph des Differentials dpf : R 2 → R.
Beispiel 1.2.13. Für γ : R → Y eine Abbildung von R in einen normierten
Raum Y wird unser dpγ : R → Y gegeben durch Multiplikation mit dem
Vektor γ ′ (p) aus II.7.2.1, wir haben also in Formeln
γ ′ (p) = (dpγ)(1)
Später werden wir derlei Feinheiten meist ignorieren, die durch das Auswerten
bei 1 gegebene kanonische Identifikation Hom(R, Y ) ∼ → Y nicht mehr
explizit machen und schlicht γ ′ (p) = dpγ schreiben. Bereits bei reellwertigen
Funktionen f einer reellen Veränderlichen hätten wir die Differenzierbarkeit
bei p mit Ableitung b auch dadurch charakterisieren können, daß gilt
f(p + h) = f(p) + bh + |h|ε(h) für eine Funktion ε, die stetig ist bei Null
und die dort den Wert Null annimmt. Dort konnten wir die Betragstriche
um h noch ohne Schaden weglassen. Ist jedoch h ein Vektor wie in unserer
allgemeinen Situation, so sind die Betragstriche als da heißt das Bilden der
Norm unumgänglich, schon allein, da wir ja im allgemeinen gar kein Produkt
von Vektoren zur Verfügung haben.
Beispiel 1.2.14. Ist X ein eindimensionaler reeller Raum, x : X ∼ → R ein
Isomorphismus affiner Räume, f : X → Y eine differenzierbare Abbildung
in einen normierten Raum Y und p ∈ X ein Punkt, so erklären wir den
Differentialquotient bei p durch die Vorschrift
df
= dpf ◦ (dpx)
dx
−1
x=p
Hier meint (dpx) −1 : R ∼ → X die Umkehrabbildung zu dpx : X ∼ → R und
unser Differentialquotient ist mithin eine lineare Abbildung R → Y , die wir
meist vermittels der durch das Auswerten bei Eins gegebenen Identifikation
schlicht als einen Vektor aus Y auffassen. Ist x die Identität auf X = R, so ist
unser Differentialquotient nur eine andere Schreibweise für die Ableitung zum
Zeitpunkt p. Die allgemeinere Definition zeigt jedoch, wie gut unsere neue
Notation df für das Differential verträglich ist mit unserer alten Notation df
dx
für die Ableitung.
Ergänzung 1.2.15. Ist insbesondere T unsere Zeitachse aus ?? und E unser
Anschauungsraum aus ?? und γ : T → E die mathematische Beschreibung