Analysis

1404 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Beweis. Die obere Abschätzung des Absolutbetrags des Integranden durch
t a−1 für Re z ≥ a zeigt, daß die Folge der nach 1.2.20 holomorphen Funktion
Fn(z) =
1
e
1/n
−t t z−1 dt
für Re z > 0 kompakt konvergiert gegen eine nach 1.7.5 holomorphe Grenzfunktion
auf der offenen rechten Halbebene. Die Abschätzung e t t −a ≥ t 2 /(a+
2)! für a ∈ N und t > 0 liefert | e −t t z−1 | ≤ (a + 2)! t −2 für Re z < a + 1 und
zeigt, daß die Folge von holomorphen Funktionen
Gn(z) =
n
e
1
−t t z−1 dt
für Re z > 0 kompakt konvergiert gegen eine holomorphe Grenzfunktion auf
der offenen rechten Halbebene. In diesem Sinne definiert also das Integral
aus dem Satz eine holomorphe Funktion auf der offenen rechten Halbebene.
Für Re z > 2 erhalten wir mit partieller Integration sogar
∞
Γ(z + 1) =
0
e −t t z dt = − e −t t z | ∞ 0 + z
∞
0
e −t t z−1 dt = zΓ(z)
wo wir darauf verzichtet haben, wirklich korrekt erst nach dem partiellen Integrieren
den Grenzübergang zu vollziehen. Diese Formel können wir auch umschreiben
zu Γ(z−1) = Γ(z)/(z−1) und sie liefert uns dann eine meromorphe
Fortsetzung unserer Gammafunktion erst auf die Halbebene Re z > −1, dann
auf die Halbebene Re z > −2 und so nach und nach auf ganz C. Offensichtlich
gilt Γ(1) = 1 = 0! und Iteration mit der Funktionalgleichung Γ(z+1) = zΓ(z)
liefert dann sofort Γ(n + 1) = n! für alle n ∈ N. Eine Iteration der Funktionalgleichung
liefert auch sofort Γ(z + n + 1) = (z + n)(z + n − 1) . . . zΓ(z)
alias
Γ(z) = (z + n) −1 (z + n − 1) −1 . . . z −1 Γ(z + n + 1)
was ein Produkt ist von (z + n) −1 mit einer Funktion, die bei z = −n holomorph
ist und die dort den Wert (−1) n /n! annimmt.
Satz 3.4.3 (Gauss’sche Formel). Auf dem Komplement der nichtpositiven
ganzen Zahlen in der komplexen Zahlenebene gilt im Sinne kompakter
Konvergenz
n! n
Γ(z) = lim
n→∞
z
z(z + 1) . . . (z + n)