Analysis

1216 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
solchen Rahmen überhaupt sinnvoll erklärt werden können. Betrachten wir
nun eine glatte Kurve γ : I → M für I ⊂ T ein halboffenes Zeitintervall.
Zusammen mit ihrem Differential ˙γ = dγ liefert sie eine Abbildung
(γ, ˙γ) : I → TM ⊗ 〈〈1/s〉〉, wo das Tensorprodukt wieder faserweise zu verstehen
ist. Interpretieren wir die yi weiter als Koordinaten des Geschwindigkeitsphasenraums
oder genauer als Abbildungen yi : TM ⊗ 〈〈1/s〉〉 → 〈〈1/s〉〉,
so ergibt sich
d ∂K
dt ∂yl
◦ (γ, ˙γ)
=
2 ∂ rν
mν ,
∂xj∂xk
ν,i,j,k
∂rν
˙xk ˙xj
∂xl
+
∂rν
mν ,
∂xj
ν,i,j,k
∂2
rν
˙xk ˙xj
∂xl∂xk
+
∂rν
mν ,
∂xj
∂rν
¨xj
∂xl
Die ersten beiden Terme unserer l-ten Bewegungsgleichung können demnach
dargestellt werden in der Form
d ∂K
◦ (γ, ˙γ) −
dt ∂yl
∂K
◦ (γ, ˙γ)
∂xl
Den letzten Term in unserer l-ten Bewegungsgleichung bezeichnen wir mit
Ql :=
ν 〈Fν ◦ rν, ∂rν 〉, nennen ihn eine generalisierte Kraft, und erhalten
∂xl
damit die l Bewegungsgleichungen
d ∂K
◦ (γ, ˙γ) −
dt ∂yl
∂K
◦ (γ, ˙γ) − Ql ◦ γ = 0
∂xl
3.3.6. Bisher haben wir unsere Kräfte als mit Einheiten 〈〈g/s 2 〉〉 versehene
Vektorfelder aufgefaßt. Benutzen wir nun unsere durch das Skalarprodukt in
Einheiten E × E → L ⊗2 gegebene Identifikation E ∼ → E ∗ ⊗ L ⊗2 , um sie stattdessen
als mit Einheiten in 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 versehene Kovektorfelder aufzufassen,
und fassen F entsprechend als ein mit denselben Einheiten versehenes Kovektorfeld
auf E N auf, also als Abbildung F : E N → ( E ∗ ) N ⊗ 〈〈gm 2 /s 2 〉〉, so
hat das unter der Karte zurückgezogene Kovektorfeld die Gestalt
ϕ ∗ F =
ν,j
n
Ql dxl
l=1
und unsere generalisierten Kräfte zeigen ihre eigentliche Bedeutung. Ist dann
weiter V : E N → 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 ein Potential für unsere Kraft F , in Formeln