Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 835
Übung 3.4.31 (Transitivität initialer Familien). Seien hi : X → Yi und
gji : Yi → Zji Familien von topologischen Räumen und stetigen Abbildungen.
Trägt X die initiale Topologie für die hi und tragen die Yi die initialen
Topologien für die gji, so trägt X auch die initiale Topologie für die gjihi.
Trägt andererseits X die initiale Topologie bezüglich der gjihi, so trägt X
auch die initiale Topologie bezüglich der hi.
Beispiel 3.4.32. Ist X ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge,
so stimmt die auf Y induzierte Topologie überein mit der Initialtopologie
zur Inklusion Y ↩→ X. Ganz allgemein nennen wir eine stetige Abbildung
f : Y → X initial genau dann, wenn Y die Initialtopologie trägt. Zum
Beispiel ist die Identität auf einem topologischen Raum stets initial.
3.4.33. Übung 3.4.31 besagt unter anderem, daß die Verknüpfung von zwei
initialen Abbildungen stets initial ist, und daß Verknüpfung g ◦ h von zwei
stetigen Abbildungen nur dann initial sein kann, wenn h initial ist. Insbesondere
ist jede stetige Abbildung initial, die eine stetige Linksinverse besitzt.
Ergänzung 3.4.34. In der Homotopietheorie arbeitet man oft mit sogenannten
CW-Komplexen. Darunter versteht man einen Hausdorffraum X mit einer
Familie von stetigen Abbildungen ϕα : D n(α) → X von geschlossenen Bällen
D n := {x ∈ R n | x ≤ 1} nach X derart, daß gilt:
1. Die Restriktionen unserer Abbildungen auf die offenen Bälle sind Homöomorphismen
auf ihr Bild ϕα : (D n(α) \S n(α) ) ∼ → ϕα(D n(α) \S n(α) )
und unser Raum X ist als Menge die disjunkte Vereinigung der Bilder
der offenen Bälle X =
α ϕα(D n(α) \S n(α) );
2. Für jedes α ist ϕα(S n(α) ) enthalten in einer endlichen Vereinigung von
Bildern von anderen ϕβ mit n(β) < n(α);
3. Der Raum X trägt die finale Topologie in Bezug auf die Familie der
ϕα : D n(α) → X.
Die zweite Bedingung heißt auf Englisch “closure finiteness”, die Dritte “weak
topology”, daher die Terminologie.
3.5 Kompakte topologische Eins-Mannigfaltigkeiten*
3.5.1. Dieser Abschnitt ist für das Weitere entbehrlich. Er dient im Wesentlichen
dazu, den Leser zu überzeugen, daß die bisher entwickelten abstrakten
Begriffsbildungen immer noch eine enge Beziehung zur Anschauung haben.