Analysis

692 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
2.5.17. Mit partieller Integration prüft man für die Standard-Normalverteilung
µ = e −x2 /2 dx/ √ 2π leicht x 2 µ〈x〉 = 1. Weiter prüft man für das Gv aus
2.5.16 auch x 2 Gv(x) dx = v. In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie
hat also eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilung Gv(x) dx Varianz v und
Standardabweichung √ v.
Satz 2.5.18 (Abstrakter zentraler Grenzwertsatz). Ist µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf R, in Bezug auf das x und x 2 integrierbar sind mit
xµ〈x〉 = 0 und x 2 µ〈x〉 = 1, so konvergiert die Folge der jeweils um
den Faktor √ n gestauchten iterierten Faltungen µ ∗n gegen die Standard-
Normalverteilung e −x2 /2 dx/ √ 2π im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz
der Verteilungsfunktionen. In Formeln haben wir also gleichmäßig in a ∈ R
die Konvergenz
√ n·a
−∞
µ ∗n −→
a
−∞
e −x2 /2
√ 2π dx für n → ∞
Ergänzung 2.5.19. In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie hört sich
unser zentraler Grenzwertsatz 2.5.18 dann so an: Gegeben eine Folge identisch
verteilter stochastisch unabhängiger reeller Zufallsvariablen X1, X2, . . .
mit Erwartungswert Null und Varianz Eins konvergiert die Folge der Zufallsvariablen
1
√ n (X1 + . . . + Xn)
in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung.
Beweis. Unsere Bedingungen liefern, daß die Fouriertransformierte alias die
charakteristische Funktion µ ∧ von µ im Sinne von 2.2.15 zweimal stetig differenzierbar
ist, und ihre Taylorentwicklung um den Nullpunkt liefert mithilfe
einer offensichtlichen Verallgemeinerung von 2.1.6.6 eine Darstellung
µ ∧ (y) = 1 − y2
2 + y2 ε(y)
für ε stetig mit Funktionswert Null bei Null. Nach 2.5.7 ist nun die Fouriertransformierte
der Faltung das Produkt der Fouriertransformierten, und
verwenden wir zusätzlich 2.1.6.5 oder besser 2.4.13, so ergibt sich für die charakteristische
Funktion der um den Faktor √ n gestauchten n-fach iterierten
Faltung die Darstellung
−1/2
(n )∗µ ∗n∧
(y) = 1 − y2 y2
+
2n n ε
n y
√n