Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1309
1. Gilt P (Ai) < ∞, so folgt P (A ∗ ) = 0;
2. Gilt P (Ai) = ∞ und ist die Familie von Ereignissen (Ai)i∈N stochastisch
unabhängig, so folgt P (A ∗ ) = 1.
Beispiel 4.12.3. Nehmen wir etwa als Grundraum Ω die Menge aller möglichen
Resultate beim abzählbar unendlich oft Würfeln. Sei Ai ⊂ Ω die Teilmenge
aller Elementarereignisse, bei denen im i-ten Wurf eine Sechs herauskommt.
So gilt P (Ai) = 1/6 und die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel
bei unendlich vielen Würfen unendlich oft die Sechs zu Würfeln, ist Eins.
Es kann beim Würfeln natürlich passieren, daß man mindestens so lange auf
eine Sechs warten muß, wie man bis dahin bereits gewürfelt hat. Daß man
vom (i + 1)-ten Wurf bis zum 2i-ten Wurf keine Sechs würfelt, ist ein Ereignis
der Wahrscheinlichkeit (5/6) i . Die Wahrscheinlichkeit, daß einem das bei
unbegrenzt langem Würfeln für unendlich viele i passiert, ist mithin Null.
Beweis. 1. Wir schreiben
A ∗ =
∞
m=0
∞
und folgern P (A ∗ ) ≤ ∞
n=m P (An) für alle m. Die rechte Seite strebt aber
gegen Null für m → ∞.
n=m
2. Wir schreiben Ω\A∗ = ∞ m=0 ( ∞
n=m Ω\An) und
P (Ω\A∗ ) ≤
=
∞ limn→∞ n=m (1 − P (An))
limm→∞ exp ≤
∞
n=m log(1 − P (An))
limm→∞ exp ( ∞ n=m −P (An)) = 0
wegen der Abschätzung log(1 − x) ≤ −x für x ∈ [0, 1] mit der Konvention
log(0) = −∞.
An
4.13 Altes Beispiel Integral 2-Form
Beispiel 4.13.1. Wir integrieren die 2-Form ω = y dx ∧ dz über die Hemisphäre
H = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0} mit einer noch
festzulegenden Orientierung. In IV.7.5.15 werden wir erklären, warum dies
Integral auch als der Fluß des Vektorfelds (x, y, z) ↦→ (0, −y, 0) durch unsere
Hemisphäre verstanden werden kann. Als Karte nehmen wir (W, ϕ)
mit W der offenen Einheitskreisscheibe W = {(x, y) | x 2 + y 2 < 1} und