Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 617
von Stokes erhält nach 7.7.19 und 7.7.23 und 7.5.9 die Gestalt
b
a
〈grad f, dϕ〉 =
b
a
(grad f) · dϕ = f(ϕ(b)) − f(ϕ(a))
In Worten stimmt also das Wegintegral des Gradientenfelds einer Funktion
überein mit der Differenz zwischen den Werten besagter Funktion am
Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges.
Beispiel 7.8.12 (Satz von Gauss). Gegeben eine kompakte glatt berandete
Teilmenge K ⊂ R n und ein im Sinne von 1.5.2 stetig differenzierbares Vektorfeld
F auf K bilden wir wie in 7.5.13 die zugehörige (n − 1)-Form ω = ωF
und finden
dω = (div F ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn
für (div F ) : K → R die sogenannte Quelldichte oder auch Divergenz
unseres Vektorfeldes, die auf dem“Inneren”K\∂K von K gegeben wird durch
die Vorschrift
div F = ∂F1
∂x1
+ . . . + ∂Fn
∂xn
Damit spezialisiert der allgemeine Satz von Stokes zum Satz von Gauss
div F = F ·N
K
für N : ∂K → R n das äussere Normalenfeld. In Worten ist also der Fluß
eines Vektorfelds durch den Rand eines glatt berandeten Kompaktums im
R n gleich dem Integral seiner Quelldichte über besagtes Kompaktum. Anschaulich
mag man sich im Fall n = 2 die Oberfläche K eines ebenen Moores
denken, in dem Wasser nach oben dringt und über das Moor an den Rand des
Moores fließt. Nehmen wir das Geschwindigkeitsfeld dieses Flusses als unser
Vektorfeld, so wäre die Divergenz eben die Quelldichte in unserem Moor, das
Randintegral mißt die Wassermenge, die pro Zeiteinheit am Rand unseres
Moores herausläuft, und unser Satz besagt, daß sie gleich der Wassermenge
sein muß, die pro Zeiteinheit im Inneren emporquillt.
Beispiel 7.8.13. Ein homogener, als da heißt überall gleich dichter schwerer
Körper K wird an einem Seil ins Wasser gelassen. Wir wollen uns überlegen,
daß auch im Wasser der Schwerpunkt unseres Körpers in der Vertikalen unter
dem Aufhängepunkt bleibt. Für inhomogene Körper gilt das im allgemeinen
natürlich nicht! Wir denken uns unseren Körper als kompakte glatt berandete
Teilmenge K ⊂ R 3 mit Schwerpunkt auf der z-Achse, also
∂K
K
x =
K
y = 0.
Die Wasseroberfläche möge die Ebene z = 0 sein. Der Wasserdruck steigt
linear mit der Tiefe, auf ein Oberflächenelement der Fläche σ〈p〉 um p ∈ ∂K