Analysis

276 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Ergänzung 7.3.3. Ein Weg in einem metrischen Raum heißt rektifizierbar
genau dann, wenn er endliche Länge hat. Ein stetig differenzierbarer Weg in
einem normierten Raum ist also insbesondere stets rektifizierbar.
Übung 7.3.4. Eine Abbildung von einem halboffenen reellen Intervall in einen
metrischen Raum heißt nach der Bogenlänge parametrisierend genau
dann, wenn ihre Restriktion auf jedes nichtleere halboffene kompakte Teilintervall
dieselbe Länge hat wie das Teilintervall selber. Man zeige, daß eine
stetig differenzierbarere Abbildung in einen normierten Raum genau dann
nach der Bogenlänge parametrisierend ist, wenn die zugehörige absolute Geschwindigkeit
konstant Eins ist.
Übung 7.3.5. Man zeige, daß sich jede stetig differenzierbare Abbildung von
einem halboffenen reellen Intervall nach R n mit nirgends verschwindender
Geschwindigkeit “nach der Bogenlänge parametrisieren” läßt, daß es genauer
für solch eine Abbildung γ : I → X stets eine stetig differenzierbare Bijektion
ψ : J ∼ → I gibt derart, daß γ ◦ ψ nach der Bogenlänge parametrisierend ist.
Das gilt auch für Wege in beliebigen normierten Vektorräumen, nur benötigt
man zum Argumentieren in dieser Allgemeinheit die Kettenregel IV.1.3.1, die
uns hier noch nicht zur Verfügung steht.
Übung 7.3.6. Gegeben ein stetig differenzierbarer Weg γ : [a, b] → X in einem
normierten Raum X und eine stetige Funktion f : γ([a, b]) → R definiert man
das Kurvenintegral von f längs γ als die reelle Zahl
b
f = f(γ(t)) γ ′ (t) dt
γ
a
Man zeige, daß das Kurvenintegral unabhängig ist von der Parametrisierung
und daß es mit denselben Notationen wie oben geschrieben werden kann als
der Grenzwert der Riemannsummen
S r r
γ(f) = f(γ(ai)) γ(ai) − γ(ai−1)
i=1
Als Kür definiere man allgemeiner das Kurvenintegral längs eines beliebigen
rektifizierbaren Weges γ : [a, b] → X in einem metrischen Raum X.
7.3.7 (Anschauung zum Kurvenintegral). Die Länge eines stetig differenzierbaren
Weges ist in dieser Terminologie das Kurvenintegral der konstanten
Funktion Eins längs unseres Weges. Der Schwerpunkt eines durch eine Abbildung
γ : [a, b] → R 3 beschriebenen homogenen gebogenen Drahtes hat als
Koordinaten die Integrale der Koordinatenfunktionen x, y, z längs γ dividiert
durch die Länge unseres Weges. Stellen wir uns allgemeiner eine Erdwärmeanlage
vor, bei der kaltes Wasser in einem Rohr durch heißes Gestein gepumpt