Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 443
SkriptenBilder/BildUKS.png
Das Verfahren aus dem Beweis von 4.1.2 ist auch durchaus von praktischer
Bedeutung: Ausgeschrieben besagt es, daß wir eine Lösung x der Gleichung
f(x) = y unter geeigneten Annahmen finden können als den Fixpunkt der
kontrahierenden Abbildung
ky : U → X
x ↦→ x + (dpf) −1 (y − f(x))
für p mit f(p) hinreichend nah bei y. Es ist dem Newtonverfahren aus
II.2.3.3 eng verwandt, stimmt jedoch nicht damit überein: Beim
Newtonverfahren etwa im Fall einer Veränderlichen “gehen wir ja immer auf
der Tangente bei (x, f(x)) wieder herunter zur x-Achse”, wohingegen wir
bei unserer Korrektur ky aus besagtem Beweis stattdessen auf der
Parallelen durch (x, f(x)) zur Tangente bei (p, f(p)) heruntergehen, wie im
Bild dargestellt.