Analysis

1420 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
4.2.2. Zum Beispiel gibt es unendlich viele Primzahlen, deren Dezimaldarstellung
mit der Ziffer 3 endet. Der Beweis des Satzes wird erst ganz zu Ende
dieses Abschnitts gegeben und stützt sich auf den Satz 4.2.7 über die meromorphen
Fortsetzungen der sogenannten L-Reihen, die wir gleich einführen
werden, sowie auf elementare Charaktertheorie, die wir im Anschluß besprechen.
Den Beweis von 4.2.7 holen wir dann im anschließenden Abschnitt 4.3
über Dirichlet-Reihen nach.
4.2.3. Wir erinnern daran, daß man zu jedem Ring R seine Einheitengruppe
R × bilden kann. Für m ∈ Z erinnern wir weiter an den Restklassenring
Z/mZ. Für k ∈ Z bezeichne ¯ k ∈ Z/mZ seine Restklasse.
Definition 4.2.4. Gegeben ein Gruppenhomomorphismus χ : (Z/mZ) × →
C × definiert man eine holomorphe Funktion auf der Halbebene Re(z) > 1
durch die sogenannte L-Reihe
L(z, χ) :=
∞
k=1
χ(k)
k z
mit der Konvention χ(k) = χ( ¯ k) für ¯ k ∈ (Z/mZ) × und χ(k) = 0 sonst. Die
Konvergenz der Reihe für Re(z) > 1 ist unproblematisch, da unser Gruppenhomomorphismus
notwendig in den Einheitswurzeln landet.
4.2.5. Eine Abbildung χ : Z → C heißt ein Dirichlet-Charakter modulo
m genau dann, wenn es einen Gruppenhomomorphismus ¯χ : (Z/mZ) × → C ×
gibt mit χ(k) = ¯χ( ¯ k) für k teilerfremd zu m und χ(k) = 0 sonst. Das Symbol
L mag auf Dirichlet’s Vornamen Lejeune zurückzuführen sein.
Lemma 4.2.6 (Produktdarstellung von L-Reihen). Die L-Reihe L(z, χ)
besitzt für Re(z) > 1 auch die Darstellung als Produkt
L(z, χ) =
p∤m
1 − χ(p)
pz −1 im Sinne der kompakten Konvergenz der Teilprodukte unabhängig von der
Reihenfolge der Faktoren. Das Produkt ist hier zu bilden über alle Primzahlen,
die nicht m teilen.
Beweis. Man beachte χ(mn) = χ(m)χ(n) für alle m, n ∈ Z. Mit dieser
Erkenntnis kann der Beweis ebenso geführt werden wie im Fall der Riemann’schen
ζ-Funktion in 4.1.5.