Analysis

5. POTENZREIHEN UND HÖHERE ABLEITUNGEN 217
5.2 Taylorentwicklung
5.2.1. Um im Folgenden auch den Fall n = 0 zulassen zu dürfen, vereinbaren
wir, daß “0-mal differenzierbar bei p” zu verstehen sein soll als “stetig bei p”.
Satz 5.2.2 (Taylorentwicklung). Seien I ⊂ R ein halboffenes Intervall,
p ∈ I ein Punkt und f : I → R eine Funktion, deren (n − 1)-te Ableitung
f (n−1) auf ganz I existiert und deren n-te Ableitung f (n) (p) bei p existiert. So
gilt:
1. Es gibt genau ein Polynom Q vom Grad ≤n mit der Eigenschaft
f(x) = Q(x) + (x − p) n ε(x − p)
für eine Funktion ε mit limh→0 ε(h) = 0.
2. Dieses Polynom kann auch charakterisiert werden als das eindeutig bestimmte
Polynom Q vom Grad ≤ n, dessen Ableitungen bei p bis zur
n-ten Ableitung einschließlich mit den entsprechenden Ableitungen bei
p unserer Funktion f übereinstimmen, in Formeln f (ν) (p) = Q (ν) (p) für
0 ≤ ν ≤ n.
5.2.3. Wir nennen Q das Approximationspolynom bis zur Ordnung n
an f bei p. Der Graph des Approximationspolynoms bis zur ersten Ordnung
heißt die Tangente an den Graphen von f im Punkt (p, f(p)), der Graph des
Approximationspolynoms bis zur zweiten Ordnung die Schmiegeparabel.
Beweis. Sicher gibt es genau ein Polynom Q, das die Bedingung aus Teil 2
erfüllt, nämlich das Polynom
Q(x) = f(p) + f ′ (p)(x − p) + f (2) (p)
(x − p)
2!
2 + . . . + f (n) (p)
(x − p)
n!
n
das aus den ersten n + 1 Termen der Taylorreihe von f beim Entwicklungspunkt
p besteht. Betrachten wir für dieses Polynom Q die Differenz r = f −Q,
so verschwinden die ersten n Ableitungen von r bei x = p und wir erhalten
durch wiederholte Anwendung der Regeln von de l’Hospital 4.4.1 und die
Definition von r (n) (p) in der Tat
lim
x→p
r(x)
= . . . = lim
(x − p) n x→p
r (n−1) (x)
n! (x − p) = r(n) (p)
n!
Damit bleibt nur noch zu zeigen, daß kein anderes Polynom ˆ Q die Bedingung
aus Teil 1 erfüllen kann. In der Tat folgt aber für zwei Polynome vom Grad
≤n aus
lim
x→p
ˆQ(x) − Q(x)
(x − p) n
= 0
= 0